1. Định nghĩa
Dãy số un là một cấp số cộng nếu un+1=un+d với mọi n∈N∗, d là hằng số.
d=un+1−un được gọi là công sai.
* d=0: CSC là một dãy số không đổi.
Ví dụ:
Dãy số 3;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:
6=3+39=6+312=9+315=12+3
Đây là CSC có công sai d=3 và số hạng đầu u1=3.
2. Số hạng tổng quát
Kí hiệu: u_n= u_1+ (n – 1)d, (n ≥ 2). ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)
Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: d = \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}.
Ví dụ:
Cho CSC \left( {{u_n}} \right) biết {u_1} = - 1,d = 3. Tìm {u_{20}}.
Ta có:
\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, = - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}
3. Tính chất
u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} với k ≥ 2 hay u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k
Ví dụ:
Cho ba số 3;x;9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.
Ta có: x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6.
Vậy x = 6.
4. Tổng n số hạng đầu
+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: S_n= \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}, với n\in {\mathbb N}^*
+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:
{S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d
{S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}
Ví dụ:
Cho CSC \left( {{u_n}} \right) thỏa mãn {u_1} = - 1,d = 3. Tính {S_{20}}.
Ta có:
\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { - 1} \right) + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}
