Đề bài
Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Khai triển \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\) về dạng \(\sum\limits_{k = 1}^6 {{A_k}.{x^{{i_k}}}} \)
B2: Tìm k để \(i_k =3\) từ đó suy ra \(A_k\)
KL: Hệ số của \(x^3\) là \(A_k\)
Lời giải chi tiết
Số hạng tổng quát:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}}\\
= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}
= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\
= \sum\limits_{k = 1}^6C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}}
\end{array}\)
Số hạng chứa \(x^3\) ứng với \(6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1\)
Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là: \(C_6^1.2^1 = 2.6 = 12\)
