Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(M\). Cho \((α)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\)
a) Tìm giao tuyến của \((α)\) với các mặt tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \((α)\) là hình gì?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng định lí 2:
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\alpha\). Nếu mặt phẳng \(\beta\) chứa \(a\) và cắt \(\alpha\) theo giao tuyến \(b\) thì \(b\) song song với \(a\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
+ \((α) // AC\)
⇒ Giao tuyến của \((α)\) và \((ABC)\) là đường thẳng song song với \(AC.\)
Mà \(M ∈ (ABC) ∩ (α).\)
\(⇒ (ABC) ∩ (α) = MN\) là đường thẳng qua \(M,\) song song với \(AC (N ∈ BC).\)
+ Tương tự \((α) ∩ (ABD) = MQ\) là đường thẳng qua \(M\) song song với \(BD (Q ∈ AD).\)
+ \((α) ∩ (BCD) = NP\) là đường thẳng qua \(N\) song song với \(BD (P ∈ CD).\)
+ \((α) ∩ (ACD) = QP.\)
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ\\
\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\\
\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\\
\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PN
\end{array} \right.\) nên thiết diện là tứ giác \(MNPQ.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\\
AC//\left( \alpha \right)\\
AC \subset \left( {ACD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC\).
Mà \(MN//AC\) (câu a) nên \(MN//PQ.\)
Lại có: \(MQ//BD, NP//BD\) (câu a) nên \(MQ//NP.\)
Tứ giác \(MNPQ\) có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
