Video hướng dẫn giải
Cho tổng Sn=11.2+12.3+...+1n(n+1)Sn=11.2+12.3+...+1n(n+1) với n∈N∗.
LG a
Tính S1,S2,S3
Phương pháp giải:
Tính các giá trị S1;S2;S3 bằng cách thay lần lượt n=1;n=2;n=3.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
S1=11.2=12S2=11.2+12.3=23S3=11.2+12.3+13.4=34
LG b
Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Phương pháp giải:
Dựa vào các giá trị S1;S2;S3 tính được ở trên, dự đoán tổng Sn.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết:
Từ câu a) ta dự đoán Sn=nn+1(1), với mọi n∈N∗
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Khi n=1, vế trái là S1=12 vế phải bằng 11+1=12.
Vậy đẳng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n≥1, tức là
Sk=11.2+12.3+...+1k(k+1)=kk+1
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh: Sk+1=k+1k+2
Ta có :
Sk+1=Sk+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2)
=k(k+2)+1(k+1)(k+2) =k2+2k+1(k+1)(k+2)
=(k+1)2(k+1)(k+2) =k+1k+2
tức là đẳng thức (1) đúng với n=k+1.
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Chú ý:
Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:
S1=11.2=11−12=1−12S2=11.2+12.3=(11−12)+(12−13)=1−13S3=11.2+12.3+13.4=(11−12)+(12−13)+(13−14)=1−14
Dự đoán: Sn=1−1n+1 (1)
Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp
+ Với n=1 thì (1) đúng.
+ Giả sử (1) đúng với n=k, tức là
Sk=11.2+12.3+...+1k(k+1)=1−1k+1
Khi đó,
⇒(1)đúng với n=k+1,do đó đúng ∀n∈N∗.
