Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD,ACABCD,AC và BDBD cắt nhau tại II. Gọi H,K,LH,K,L và JJ lần lượt là trung điểm của AD,BC,KCAD,BC,KC và ICIC. Chứng minh hai hình thang JLKIJLKI và IHDCIHDC đồng dạng với nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:
- Phép vị tự tâm CC tỉ số 2.2.
- Phép đối xứng tâm I.I.
Lời giải chi tiết
Ta có: J,L,K,IJ,L,K,I là trung điểm của CI,CK,CB,CACI,CK,CB,CA nên
→CI=2→CJ−→CI=2−→CJ ⇒V(C,2)(J)=I
→CK=2→CL ⇒V(C,2)(L)=K,
→CB=2→CK ⇒V(C,2)(K)=B,
→CA=2→CI V(C,2)(I)=A
Do đó V(C,2)(JLKI)=IKBA.
Lại có, DI(I)=I,DI(K)=H
DI(B)=D,DI(A)=C
Nên DI(IKBA)=IHDC.
Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang JLKI thành hình thang IHDC.
Vậy hai hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng.
Cách khác:
+ I là trung điểm AC;BD;HK
⇒I(H)=K;I(D)=B;I(C)=A.
⇒ Hình thang IKBA đối xứng với hình thang IHDC qua I (1)
+ J;L;K;I lần lượt là trung điểm của CI;CK;CB;CA
⇒ Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IKBA qua phép vị tự tâm C tỉ số 12
⇒ Hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâmC tỉ số 12.
⇒IJKI và IHDC đồng dạng.
