Dưới đây là một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian:
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Muốn chứng minh đường thẳng d⊥(α) ta có thể dùng một trong hai cách sau.
Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a,b cắt nhau trong (α).
Kí hiệu: {d⊥ad⊥ba⊂(α),b⊂(α)a∩b=I⇒a⊥(α)
Cách 2. Chứng minh d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với (α).
Kí hiệu: {d∥a(α)⊥a⇒d⊥(α)
Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q)//(P).
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách dùng đường thẳng vuông góc mặt phẳng
Phương pháp:
Để chứng minh d⊥a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
Cách 1: Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Cách 3: Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Ví dụ:
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, SA⊥(ABC)
a) Chứng minh: BC⊥(SAB)
b) Gọi AH là đường cao của ΔSAB. Chứng minh: AH⊥SC
Giải
a) Ta có: {SA⊥(ABC)BC⊂(ABC)⇒SA⊥BC
Mà BC⊥AB (do tam giác ABC vuông tại B)
Nên {BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥(SAB) (đpcm)
b) Do {BC⊥(SAB)AH⊂(SAB)⇒BC⊥AH (1)
Lại có AH⊥SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH⊥(SBC)
Mà SC⊂(SBC)⇒AH⊥SC (đpcm).
