Đề bài
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tập xác định của hàm số y=1−sinxsinx+1 là:
A. x≠π2+k2π
B. x≠k2π
C. x≠3π2+k2π
D. x≠π+k2π
Câu 2:Hàm số y=sinx xác định trên:
A. R∖{kπ,k∈Z}
B. R
C. R∖{kπ2,k∈Z}
D. [4;3]
Câu 3: Cho phương trình: √3cosx+m−1=0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
A. m<1−√3
B. m>1+√3
C. 1−√3≤m≤1+√3
D. −√3≤m≤√3
Câu 4: Cho biết x=±2π3+k2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2cosx−1=0
B. 2cosx+1=0
C. 2sinx+1=0
D. 2sinx−√3=0
Câu 5: Nghiệm của phương trình sin3x=cosx là:
A. x=π8+kπ2;x=π4+kπ
B. x=k2π;x=π2+k2π
C. x=kπ;x=π4+kπ
D. x=kπ;x=kπ2
Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2cosx+√2=0 trên khoảng (−6;6) là:
A. 4 B. 6
C. 5 D. 3
Câu 7: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số chẵn, cũng không phải là hàm số lẻ.
A. y=x2−sin4x
B. y=sinx−cotxx
C. y=x4−cosx
D. y=x2tanx
Câu 8: Giải phương trình cos2x−√3sinx=1.
A. x=kπ;x=−π6+k2π;x=7π6+k2π
B. x=k2π;x=−2π3+k2π
C. x=kπ;x=−π3+k2π;x=4π3+k2π
D. x=kπ;x=π3+k2π;x=2π3+k2π
Câu 9: Giải phương trình cos2x+sin2x=√2cosx .
A. [x=π4+k2π3x=3π4+k2π
B. [x=−π4+k2πx=−π12+k2π3
C. [x=π4+k2πx=4π9+k2π3
D. [x=π4+k2πx=π12+k2π3
Câu 10: Giải phương trình cos4x−√3sin4x=0.
A. x=π12+kπ4
B. x=π8+kπ4
C. x=kπ4
D. x=π24+kπ4
Câu 11: Giải phương trình sin2x−cosx−1=0.
A. x=kπ;x=π2+k2π
B. x=π2+k2π;x=−π2+k2π
C. x=π2+kπ;x=π+k2π
D. x=kπ;x=−π2+k2π
Câu 12: Giải phương trình cosx−sinx=−√62.
A. x=−π12−k2π;x=19π12−k2π
B. x=7π12+k2π;x=−13π12+k2π
C. x=π12+k2π;x=19π12+k2π
D. x=−7π12−k2π;x=13π12−k2π
Câu 13: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y=sinx tăng trong khoảng (0;π2)
B. Hàm số y=cotx giảm trong khoảng (0;π2)
C. Hàm số y=tanx tăng trong khoảng (0;π2)
D. Hàm số y=cosx tăng trong khoảng (0;π2)
Câu 14: GTNN và GTLN của hàm số y=4√sinx+3−1 lần lượt là
A. √2;2 B. 2;4
C. 4√2;8 D. 4√2−1;7
Câu 15: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sinx=−1⇔x=−π2+k2π
B. sinx=0⇔x=kπ
C. sinx=0⇔x=k2π
D. sinx=1⇔x=π2+k2π
Câu 16: Số nghiệm của phương trình sin2x=√32 trong (0;3π) là
A. 1 B. 2
C. 6 D. 4
Câu 17: Tìm tổng các nghiệm của phương trình 2cos(x−π3)=1 trên (−π;π)
A. 2π3 B. π3
C. 4π3 D. 7π3
Câu 18: Để phương trình cos2(x2−π4)=m có nghiệm ta chọn
A. m≤1 B. 0≤m≤1
C. −1≤m≤1 D. m≥0
Câu 19: Phương trình sinx+cosx=1−12sin2x có nghiệm là:
A. x=π6+kπ2;x=kπ4
B. x=π8+kπ;x=kπ2
C. x=π4+kπ;x=kπ
D. x=k2π;x=π2+k2π
Câu 20: Giải phương trình 1sin2x+1cos2x=2sin4x
A. x=π4+kπ;x=kπ
B. x=kπ
C. Phương trình vô nghiệm
D. x=π4+kπ
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21: Giải các phương trình sau
a)2sin(x−300)−1=0
b)5sin2x+3cosx+3=0
Câu 22: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=3+sin2x
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
| 1C | 2B | 3C | 4B | 5A |
| 6A | 7A | 8C | 9D | 10D |
| 11C | 12B | 13D | 14D | 15C |
| 16C | 17A | 18B | 19D | 20C |
Câu 1:
Điều kiện xác định: sinx≠−1 ⇔x≠3π2+k2π(k∈Z)
Chọn đáp án C.
Câu 2:
Chọn đáp án B
Câu 3:
√3cosx+m−1=0⇔cosx=1−m√3
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: −1≤1−m√3≤1
⇔−√3≤1−m≤√3⇔−√3−1≤−m≤√3−1⇔√3+1≥m≥−√3+1
⇔1−√3≤m≤1+√3
Chọn đáp án C.
Câu 4:
Ta có: 2cosx+1=0⇔cosx=−12 ⇔x=±2π3+k2π(k∈Z)
Chọn đáp án B.
Câu 5:
Ta có: sin3x=cosx ⇔cos(3x−π2)=cosx
⇔[3x−π2=x+k2π3x−π2=−x+k2π ⇔[x=π4+kπx=π8+kπ2(k∈Z)
Chọn đáp án A.
Câu 6:
Ta có: 2cosx+√2=0⇔cosx=−√22
⇔x=±3π4+k2π(k∈Z)
+ Với x=3π4+k2π∈(−6;6) ⇒k∈(−1,32;0,579)→k∈{−1;0}
+ Với x=−3π4+k2π∈(−6;6) ⇒k∈(−0,57;1,329)→k∈{0;1}
Chọn đáp án A.
Câu 7:
Ta có: y=x2−sin4x≠(−x)2−sin(−4x)
⇒ Hàm số y=x2−sin4x không phải là hàm chẵn, cũng không phải là hàm lẻ.
Chọn đáp án A.
Câu 8:
Ta có: cos2x−√3sinx=1 ⇔1−2sin2x−√3sinx=1
⇔2sin2x+√3sinx=0 ⇔sinx(2sinx+√3)=0
⇔[sinx=0sinx=−√32 ⇔[x=kπx=−π3+k2πx=4π3+k2π(k∈Z)
Chọn đáp án C.
Câu 9:
Ta có: cos2x+sin2x=√2cosx
cos2x+sin2x=√2cosx⇔√2cos(2x−π4)=√2cosx⇔cos(2x−π4)=cosx⇔[2x−π4=x+k2π2x−π4=−x+k2π⇔[x=π4+k2π3x=π4+k2π⇔[x=π4+k2πx=π12+k2π3
Chọn đáp án D.
Câu 10:
Ta có: cos4x−√3sin4x=0 ⇔2cos(4x−π3)=0
⇔cos(4x+π3)=0 ⇔4x+π3=π2+kπ ⇔x=π24+kπ4(k∈Z)
Chọn đáp án D.
Câu 11:
Ta có: sin2x−cosx−1=0 ⇔1−cos2x−cosx−1=0
⇔cos2x+cosx=0 ⇔cosx(cosx+1)=0
⇔[cosx=0cosx=−1 ⇔[x=π2+kπx=π+k2π(k∈Z)
Chọn đáp án C.
Câu 12:
Ta có: cosx−sinx=−√62 ⇔√2cos(x+π4)=−√62
⇔cos(x+π4)=−√32 ⇔cos(x+π4)=cos5π6
⇔[x+π4=5π6+k2πx+π4=−5π6+k2π ⇔[x=7π12+k2πx=−13π12+k2π(k∈Z)
Chọn đáp án B.
Câu 13:
Hàm số y = \cos x giảm trong khoảng \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)
Chọn đáp án D.
Câu 14:
Ta có: \sin x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \sin x + 3 \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow \sqrt {\sin x + 3} \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right]
Khi đó y = 4\sqrt {\sin x + 3} - 1 \in \left[ {4\sqrt 2 - 1;7} \right]
Chọn đáp án D.
Câu 15:
Ta có: \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
Chọn đáp án C.
Câu 16:
Ta có: \sin 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \dfrac{\pi }{3}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
+ Với x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \in \left( {0;3\pi } \right) \Rightarrow k \in \left( { - \dfrac{1}{6};\dfrac{{17}}{6}} \right) \to k \in \left\{ {0;1;2} \right\}
+ Với x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \in \left( {0;3\pi } \right) \Rightarrow k \in \left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right) \to k \in \left\{ {0;1;2} \right\}
Chọn đáp án C.
Câu 17:
Ta có: 2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
Các nghiệm thuộc khoảng \left( { - \pi ;\pi } \right) là \left\{ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right\}
Do đó tổng hai nghiệm là \dfrac{{2\pi }}{3}.
Chọn đáp án A.
Câu 18:
Ta có: {\cos ^2}\left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{1 + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)}}{2} = m \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = 2m - 1
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2m - 1 \in \left[ { - 1;1} \right] \Leftrightarrow 2m \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow m \in \left[ {0;1} \right]
Chọn đáp án B.
Câu 19:
Ta có: \sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sin x\cos x
\Leftrightarrow \sin x + \cos x - 1 + \sin x\cos x = 0
Đặt t = \sin x + \cos x
\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\\ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\\ = 1 + 2\sin x\cos x\\ = 1 + \sin 2x \le 1 + 1 = 2\\ \Rightarrow {t^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \\ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}
Phương trình trở thành:
\begin{array}{l}t - 1 + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2t - 2 + {t^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\t = - 3\,\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}
Với t = 1 thì \sin x + \cos x = 1
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}
Chọn đáp án D.
Câu 20:
Điều kiện: \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{4}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
Ta có: \dfrac{1}{{\sin 2x}} + \dfrac{1}{{\cos 2x}} = \dfrac{2}{{\sin 4x}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x.\cos 2x}} = \dfrac{2}{{\sin 4x}}
\Leftrightarrow \frac{{\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x\cos 2x}} = \frac{2}{{2\sin 2x\cos 2x}}
\Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \end{array}
So sánh điều kiện, phương trình vô nghiệm.
Chọn đáp án C.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21:
\begin{array}{l}a) \, 2\sin (x - {30^0}) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sin (x - {30^0}) = \dfrac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \sin (x - {30^0}) = \sin {30^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - {30^0} = {30^0} + k{360^0}\\x - {30^0} = {180^0} - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {60^0} + k{360^0}\\x = {180^0} + k{360^0}\end{array} \right.\end{array}
Vậy phương trình có nghiệm là: x = {60^0} + k{360^0};x = {180^0} + k{360^0}
\begin{array}{l}b)\, 5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 5(1 - {\cos ^2}x) + 3\cos x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 5{\cos ^2}x + 3\cos x + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{8}{5}\,\text{(vô nghiệm)}\\\cos x = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x = - 1\\ \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \end{array}
Vậy phương trình có nghiệm là: x = \pi + k2\pi
Câu 22:
Ta có - 1 \le \sin 2x \le 1
\Leftrightarrow 2 \le 3 + \sin 2x \le 4
\Leftrightarrow 2 \le y \le 4\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}
Vậy \min y = 2 khi \sin 2x = - 1
\Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi
\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})
\max y = 4 khi \,\sin 2x = 1
\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})
