Đề bài
Cho ba đường thẳng d1,d2,d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi I=d1∩d2, chứng minh I∈d3.
Lời giải chi tiết
Gọi d1,d2,d3 là ba đường thẳng đã cho.
Gọi I=d1∩d2 ⇒{I∈d1I∈d2
Ta chứng minh I∈d3. Thật vậy,
Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d1,d3.
(γ) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d2,d3.
Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và (γ) phân biệt.
Ngoài ra
{d3⊂(β)d3⊂(γ)⇒(β)∩(γ)=d3
I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow I ∈ (β) = (d_1,d_3)
I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)
Từ đó suy ra, I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3.
Cách khác:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau {d_{1,}}{d_2}
Gọi M = {d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_1}\;;{\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_2}. Giả sử M \ne {\rm{ }}N
Ta có:
\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} M\; \in \;{d_{1\;}} \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;M\; \in \;\left( P \right)\\ N\; \in \;{d_2}\; \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;N\; \in \;\left( P \right)\\ M,N \in {d_3} \end{array} \right.\quad \\ \Rightarrow {d_3} \equiv MN \subset (P) \end{array}
\Rightarrow {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\; cùng thuộc mặt phẳng (P) (trái với giả thiết {d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\; không đồng phẳng).
\Rightarrow Giả sử sai.
Vậy M \equiv {\rm{ }}N và {\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3} đồng quy tại M
Vậy {\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3} đồng quy.
