Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc \( 90^{\circ}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), quay ngược chiều kim đồng hồ.
Ảnh của đường thẳng được xác định bởi ảnh của ít nhất 2 điểm thuộc đường thẳng ấy
Lời giải chi tiết
* Ta có \(A(2; 0)\) thuộc tia \(Ox.\)
Gọi \({Q_{\left( {O,90} \right)}}\;\left( A \right) = B\) thì \(B\) thuộc tia \(Oy\) và \(OA = OB\) nên \(B(0 ; 2).\)
* Lấy \(A(2;0), B(0;2)\) thuộc \(d\)
Ta có: \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\,\Rightarrow B\left( {0;2} \right)\)
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A'\, \Rightarrow A'\left( {-2;0} \right)\)
Do đó \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) biến đường thẳng \(AB\) thành đường thẳng \(BA'\) hay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(BA'\).
Mà \(B\left( {0;2} \right),A'\left( { - 2;0} \right)\) nên đường thẳng \(A'B\) có phương trình \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\)
\( \Leftrightarrow - x + y = 2\) \( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)
Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) \( \Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) với \(ab \ne 0\).
Cách khác:
Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\)
Dễ thấy \(A(2;0)\) thuộc \(d\) vì \(2+0-2=0.\)
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\)\( \Rightarrow B\left( {0;2} \right)\) thuộc \(d'.\)
Do \(d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( d \right)\) \( \Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\).
Mà \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {1; - 1} \right)\) là \(VTPT\) của \(d'.\)
\(d'\) đi qua \(B(0;2)\) và nhận \((1;-1)\) làm \(VTPT\) nên có phương trình:
\(1(x-0)-1(y-2)=0\) hay \(x-y+2=0.\)
