Đề bài
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABCABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC)(ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chiều thuận: Lấy một điểm MM bất kì trong không gian sao cho MA=MB=MCMA=MB=MC. Từ MM kẻ MOMO vuông góc với (ABC)(ABC). Chứng minh OA=OB=OCOA=OB=OC.
Chiều ngược: Lấy một điểm M′∈d, nối M′A,M′B,M′C, cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh M′A=M′B=M′C.
Lời giải chi tiết
Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA=MB=MC. Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, suy ra OA=OB=OC.
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Ngược lại, lấy một điểm M′∈d, nối M′A,M′B,M′C,
Do M′O chung và OA=OB=OC nên các tam giác vuông M′OA,M′OB,M′OC bằng nhau, suy ra M′A=M′B=M′C,
Tức là điểm M′ cách đều ba đỉnh A,B,C của tam giác ABC.
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
