Video hướng dẫn giải
Chứng minh rằng với n∈N∗ ta luôn có:
LG a
n3+3n2+5n chia hết cho 3;
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k≥1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1.
Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈N∗.
Lời giải chi tiết:
Đặt Sn=n3+3n2+5n
Với n=1 thì S1=13+3.12+5.1=9 chia hết cho 3
Giả sử với n=k≥1, Sk=(k3+3k2+5k)⋮ 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1⋮ 3
Thật vậy :
Sk+1=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)
=k3+3k2+3k+1+3k2+6k+3+5k+5
=(k3+3k2+5k)+3k2+9k+9
=Sk+3(k2+3k+3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 3
Mà 3(k2+3k+3)⋮ 3 nên Sk+1⋮ 3.
Vậy n3+3n2+5n chia hết cho 3 với mọi n∈N∗.
Cách khác:
Chứng minh trực tiếp.
Ta có:
n3+3n2+5n=n.(n2+3n+5)=n.(n2+3n+2+3)=n.(n2+3n+2)+3n=n.(n+1)(n+2)+3n.
Mà: n(n+1)(n+2)⋮3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
và 3n⋮3
⇒n3+3n2+5n=n(n+1)(n+2)+3n⋮3.
Vậy n3+3n2+5n chia hết cho 3 với mọi ∀n∈N∗
LG b
4n+15n−1 chia hết cho 9
Lời giải chi tiết:
Đặt Sn=4n+15n−1
Với n=1,S1=41+15.1−1=18 nên S1⋮ 9
Giả sử với n=k≥1 thì Sk=4k+15k−1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1⋮ 9.
Thật vậy, ta có:
Sk+1=4k+1+15(k+1)−1
=4.4k+15k+15−1
=4.4k+15k+14
=4.4k+60k−45k+18−4
=(4.4k+60k−4)−45k+18
=4(4k+15k−1)−45k+18
=4Sk−9(5k−2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮ 9 nên 4Sk⋮9
Mặt khác 9(5k−2)⋮ 9, nên Sk+1⋮9
Vậy (4n+15n−1)⋮ 9 với mọi n∈N∗
LG c
n3+11n chia hết cho 6.
Lời giải chi tiết:
Đặt Sn=n3+11n
Với n=1, ta có S1=13+11.1=12 nên S1 ⋮ 6
Giả sử với n=k≥1 , Sk=k3+11k chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh Sk+1⋮ 6
Thật vậy, ta có
Sk+1=(k+1)3+11(k+1)
=k3+3k2+3k+1+11k+11
=(k3+11k)+(3k2+3k+12)
=(k3+11k)+3(k2+k+4)
=Sk+3(k2+k+4)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk⋮ 6, mặt khác k2+k+4=k(k+1)+4 là số chẵn nên 3(k2+k+4) ⋮ 6, do đó Sk+1⋮ 6
Vậy n3+11n chia hết cho 6 với mọi n∈N∗.
Cách khác:
Chứng minh trực tiếp.
Ta có:
n3+11n=n3−−n+12n=n(n2−−1)+12n=n(n−−1)(n+1)+12n.
Vì n(n−−1)(n+1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3
n(n−1)(n+1)⋮6
Lại có: 12n⋮6
⇒n3+11n=n(n−−1)(n+1)+12n⋮6.
