Đề bài
Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)\) và \(y = tan2x\) bằng nhau?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bài toán tương đương giải phương trình \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \tan 2x\).
B1: Coi \(X= {\frac{\pi }{4} - x} \,{và }\,\alpha =2x\)
B2: Giải tương tự như PT
\(\tan X = \tan \alpha \) \( \Leftrightarrow X = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Từ đó suy ra nghiệm x và KL
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \tan 2x\\
DK:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{\pi }{4} - x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi \\
2x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ne - \frac{\pi }{4} - m\pi \\
x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}\,\,\left( {m \in Z} \right)
\end{array}\)
Khi đó phương trình tương đương với:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,2x = \frac{\pi }{4} - x + k\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{k\pi }}{3} \ne \frac{{m\pi }}{2} + \frac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow 2k\pi \ne 3m\pi + \pi \\\Leftrightarrow 2k \ne 3m + 1\\
\Leftrightarrow k \ne \frac{{3m + 1}}{2}\,\,\,\left( {k,m \in Z} \right)
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \ne \frac{{3m + 1}}{2}\,\,\,\left( {k,m \in Z} \right)} \right)\)
