Video hướng dẫn giải
Xét tính tăng, giảm của các dãy số unun biết:
LG a
un=1n−2un=1n−2
Phương pháp giải:
Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau:
Cách 1: Xét hiệu un+1−unun+1−un
+) Nếu hiệu trên lớn hơn 00 chứng tỏ un+1>unun+1>un do đó dãy số là dãy tăng.
+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn 00 chứng tỏ un+1<unun+1<un do đó dãy số là dãy giảm.
Cách 2: Xét thương un+1unun+1un
+) Nếu thương trên lớn hơn 11 chứng tỏ un+1>unun+1>un do đó dãy số là dãy tăng.
+) Nếu thương trên nhỏ hơn 11 chứng tỏ un+1<unun+1<un do đó dãy số là dãy giảm.
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu
un+1−un=1n+1−2−(1n−2)un+1−un=1n+1−2−(1n−2) =1n+1−1n=1n+1−1n
=n−(n+1)n(n+1)=−1n(n+1)<0,∀n∈N∗=n−(n+1)n(n+1)=−1n(n+1)<0,∀n∈N∗
⇒un+1−un<0∀n∈N∗⇒un+1−un<0∀n∈N∗
⇒un+1<un,∀n∈N∗⇒un+1<un,∀n∈N∗
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
Cách khác:
Với mọi n∈N∗n∈N∗ ta có:
un+1=1n+1−2<1n−2<unun+1=1n+1−2<1n−2<un
Do đó (un)(un) là dãy số giảm.
LG b
un=n−1n+1un=n−1n+1
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu un+1−un=n+1−1n+1+1−n−1n+1un+1−un=n+1−1n+1+1−n−1n+1 =nn+2−n−1n+1=nn+2−n−1n+1 =n(n+1)−(n−1)(n+2)(n+1)(n+2)=n(n+1)−(n−1)(n+2)(n+1)(n+2)
=n2+n−(n2−n+2n−2)(n+1)(n+2)=n2+n−(n2−n+2n−2)(n+1)(n+2)=n2+n−(n2+n−2)(n+1)(n+2)=n2+n−(n2+n−2)(n+1)(n+2) =n2+n−n2−n+2(n+1)(n+2)=n2+n−n2−n+2(n+1)(n+2) =2(n+1)(n+2)>0=2(n+1)(n+2)>0
⇒un+1>un∀n∈N
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
Cách khác:
un=n−1n+1=n+1−2n+1=n+1n+1−2n+1=1−2n+1
Với mọi n thuộc N* ta có:
un+1=1−1(n+1)+1=1−1n+2un=1−1n+11n+2<1n+1⇒−1n+2>−1n+1⇒1−1n+2>1−1n+1⇒un+1>un
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
LG c
un=(−1)n(2n+1)
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
u1<0,u2>0,u3<0,u4>0,…⇒u1<u2,u2>u3,u3<u4,…
⇒ dãy số (un)không tăng, không giảm.
Chú ý:
Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.
LG d
un=2n+15n+2
Phương pháp giải:
Xét thương un+1un (vì un>0 với mọi n∈N∗ ) rồi so sánh với 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có: un+1=2(n+1)+15(n+1)+2=2n+35n+7
un+1un =2n+35n+7:2n+15n+2
=2n+35n+7.5n+22n+1
=(2n+3)(5n+2)(5n+7)(2n+1)
=10n2+15n+4n+610n2+14n+5n+7
=10n2+19n+610n2+19n+7<1 với mọi n∈N∗
(Vì 10n2+19n+6<10n2+19n+7)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
Cách khác:
un+1−un=2(n+1)+15(n+1)+2−2n+15n+2=2n+35n+7−2n+15n+2=(2n+3)(5n+2)−(2n+1)(5n+7)(5n+7)(5n+2)=(10n2+15n+4n+6)−(10n2+5n+14n+7)(5n+7)(5n+2)=−1(5n+7)(5n+2)<0,∀n∈N∗⇒un+1−un<0,∀n∈N∗⇒un+1<un,∀n∈N∗
