Video hướng dẫn giải
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết:
LG a
\(u_n= \dfrac{1}{n}-2\)
Phương pháp giải:
Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau:
Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)
+) Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.
+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.
Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)
+) Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.
+) Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\dfrac{1}{n} - 2} \right) \) \(= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}\)
\( = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N^*\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
Cách khác:
Với mọi \(n \in N*\) ta có:
\[{u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}} - 2 < \frac{1}{n} - 2 < {u_n}\]
Do đó \((u_n)\) là dãy số giảm.
LG b
\(u_n= \dfrac{n-1}{n+1}\)
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \dfrac{n+1-1}{n+1+1}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \(=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \( = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( = \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} - n + 2n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} + n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) \(= \dfrac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}\) \(=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)
\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in {\mathbb N}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
Cách khác:
\({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 1}} - \frac{2}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}\)
Với mọi n thuộc N* ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\\
{u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\\
\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow - \frac{1}{{n + 2}} > - \frac{1}{{n + 1}}\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} > 1 - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
LG c
\({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\;{u_1}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_4}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }} \ldots }\\
{ \Rightarrow \;{u_1}\; < {\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}{u_3},{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}{u_4},{\rm{ }} \ldots }
\end{array}\)
⇒ dãy số \((u_n)\)không tăng, không giảm.
Chú ý:
Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.
LG d
\(u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}\)
Phương pháp giải:
Xét thương \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}}\)
\( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\dfrac{2n+3}{5n+7}:\dfrac{2n+1}{5n+2 }\)
\( =\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}\)
\( = \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)
\(= \dfrac{{10{n^2} + 15n + 4n + 6}}{{10{n^2} + 14n + 5n + 7}}\)
\(=\dfrac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
(Vì \(10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7\))
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\\
= \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\\
= \frac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right) - \left( {2n + 1} \right)\left( {5n + 7} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\\
= \frac{{\left( {10{n^2} + 15n + 4n + 6} \right) - \left( {10{n^2} + 5n + 14n + 7} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 1}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {N^*}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
