Đề bài
Cho tứ diện S.ABCS.ABC có SASA vuông góc với mặt phẳng (ABC)(ABC). Gọi H,KH,K lần lượt là trực tâm của tam giác ABCABC và SBCSBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH,SK,BCAH,SK,BC đồng quy.
b) Chứng minh rằng SCSC vuông góc với mặt phẳng (BHK)(BHK) và HKHK vuông góc với mặt phẳng (SBC)(SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BCBC và SASA.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi E=AH∩BCE=AH∩BC, chứng minh ba đường thẳng AH,SK,BCAH,SK,BC đồng quy tại E.E.
b) Trong (ABC)(ABC) gọi F=BH∩ACF=BH∩AC, trong (SBC)(SBC) gọi D=BK∩SCD=BK∩SC. Khi đó (BHK)≡(BDF)(BHK)≡(BDF). Chứng minh SC⊥(BDF)SC⊥(BDF).
Chứng minh HKHK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SBC)(SBC).
c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải chi tiết
a) Trong (ABC)(ABC), gọi E=AH∩BCE=AH∩BC.
HH là trực tâm của tam giác ABCABC nên AE⊥BCAE⊥BC (1)
SA⊥(ABC)⇒SA⊥BCSA⊥(ABC)⇒SA⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SAE)BC⊥(SAE)⇒BC⊥SE⇒BC⊥SE.
KK là trực tâm của tam giác SBC⇒SESBC⇒SE đi qua KK ⇒AH,BC,SK⇒AH,BC,SK đồng quy tại EE.
b) Trong (ABC)(ABC) gọi F=BH∩ACF=BH∩AC, trong (SBC)(SBC) gọi D=BK∩SCD=BK∩SC. Khi đó (BHK)≡(BDF)(BHK)≡(BDF).
Ta có:
{BF⊥ACBF⊥SA(SA⊥(ABC))⇒BF⊥(SAC)⇒BF⊥SC
{SC⊥BFSC⊥BD⇒SC⊥(BDF)⇒SC⊥(BHK)
Ta có:
SC⊥(BHK)⇒SC⊥HKBC⊥(SAE)⇒BC⊥HK⇒HK⊥(SBC)
Cách khác:
Có thể chứng minh HK⊥(SBC) như sau:
{SC⊥(BHK)SC⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(BHK){BC⊥(SAE)BC⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(SAE){(SBC)⊥(BHK)(SBC)⊥(SAE)(BHK)∩(SAE)=HK⇒HK⊥(SBC)
c) {AE⊥SA(SA⊥(ABC))AE⊥BC(gt)⇒AE là đường vuông góc chung của BC và SA.
