Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

LG a

\(3^n> 3n + 1\)

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n=2\) ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(3^k> 3k + 1\) (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:

\(3^{k+1} > 9k + 3 \)

\(\Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4 +11 > 3k + 4 = 3(k+1)+1).\)

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy \(3^n> 3n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

LG b

\(2^{n+1} > 2n + 3\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 2\) thì \({2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(2^{k+1} > 2k + 3\) (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \)

\(\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \)

\(\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{k + 2}}> 2k + 5\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

Cách khác:

+ Với \(n = 2\) thì bất đẳng thức \( \Leftrightarrow \;8 > 7\) (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng khi \(n = k \ge 2\), nghĩa là \({2^{k + 1}}\; > 2k + 3.\)

Ta chứng minh đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh: \({2^{k + 2}}\; > 2(k +1)+ 3.\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}}\; = {\rm{ }}{{2.2}^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}}\\
{ > {\rm{ }}2.\left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = {\rm{ }}4k + 6{\rm{ }} = 2k + 2 + 2k + 4.}\\
{ > {\rm{ }}2k + 2 + 3 = 2.\left( {k + 1} \right) + 3}
\end{array}\)

(Vì \(2k + 4 >3\) với mọi \(k ≥ 2\))

\( \Rightarrow \;\left( 2 \right)\) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy \({2^{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; > {\rm{ }}2n + 3\;\) với mọi \(n ≥ 2\).