Đề bài
Biết dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng \(\lim u_n=1\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa giới hạn 0, xem tại đây.
Lời giải chi tiết
Vì \(\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên theo định nghĩa thì
\(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn một số dương \(A\) bé tùy ý, kể từ một số hạng \(N_0\) nào đó trở đi.
(\(\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\). Chọn \(N_0 =[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1\), tức là từ số hạng thứ \(n\) mà \(n > N_0\) thì \(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn \(A\))
Mà \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}} \) nên \( \left| {{u_n} - 1} \right| <A\) với mọi \(n>N_0=[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1\)
Theo định nghĩa dãy số có giới hạn \(0\) thì \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \lim {u_n} = 1\). (đpcm)
Cách khác:
Các em có thể sử dụng định lý sau:
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu có \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Cụ thể:
Vì \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}\) và \(\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 1\).
