PHẦN 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số tuần hoàn
Hàm số \(f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\) gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương \(T\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:
+) \(x - T \in D\) và \(x + T \in D\)
+) \(f(x + T) = f(x)\)
Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số \(T\) có các tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn \(f(x)\)
2. Các hàm số lượng giác
a) Hàm số \(y = \sin x\)
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
+ Tập giá trị \({\rm{[}} - 1;1]\)
+ Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\).
+ Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \)
Chiều biến thiên trên \([ - \pi ;\pi ]\)
Đồ thị:
b) Hàm số \(y = \cos x\)
+ Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).
+ Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Chiều biến thiên trên \([ - \pi ;\pi ]\)
Đồ thị:
c) Hàm số \(y = \tan x\)
+ Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
+ Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Chiều biến thiên trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Đồ thị:
Chú ý: Trong hệ trục toạ độ \(Oxy\) các đường thẳng có phương trình \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \tan x\).
d) Hàm số \(y = \cot x\)
+ Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
+ Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
Chiều biến thiên trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Đồ thị:
Chú ý: Trong hệ trục toạ độ \(Oxy\) các đường thẳng có phương trình \(x = k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\) được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \cot x\)
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình \(\sin x = m\)
+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\), khi đó đặt \(m = \sin \alpha \) ta được: \(\sin x = {\rm{sin}}\alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + 2k\pi \\x = \pi - \alpha + 2k\pi \end{array} \right.,k \in Z\)
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
\( + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\)
\( + )\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\)
\( + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\)
2. Phương trình \(\cos x = m\)
+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\), khi đó đặt \(m = \cos \alpha \) ta được: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + 2k\pi \\x = - \alpha + 2k\pi \end{array} \right.,k \in Z\)
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\)\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ;\)\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)
3. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan m + k\pi \).
Đặc biệt: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
4. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \).
Đặc biệt: \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})\).
III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Chuyển phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện |t|\(\le\) 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.
3. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)
Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) có dạng:
\(a\sin x + b\cos x = c\) (1)
Phương pháp chung:
Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:
\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x \)\(= \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 3: Đặt \(\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).
Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):
- Bước 1: Xét \(x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.
- Bước 2: Xét \(x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\)\(\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:(b + c){t^2} - 2at + c - b = 0\).
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.
Nhận xét :
Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:
\( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin x + b\cos x \le\)\( \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng \(y = a\sin x + b\cos x\) hoặc \(y = \dfrac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x}}\) và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác.
Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\sin x - \cos x = 0\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}
\end{array}
\end{array}\)
4. Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin x\) và \(\cos x\).
Phương trình dạng \({a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... \)\(+ {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\).
Phương pháp chung:
- Bước 1: Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\), thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.
- Bước 2: Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^n}x \ne 0\) và đặt \(\tan x = t\).
- Bước 3: Giải phương trình ẩn \(t\) tìm nghiệm \(t\).
- Bước 4: Giải phương trình \(\tan x = t\) tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
5. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \(\sin x\) và \(\cos x\).
Phương trình dạng \(a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0\).
Phương pháp chung:
- Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \)\(\Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).
- Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).
IV. Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện xác định của các hàm phân thức, hàm căn bậc, hàm lượng giác (tan, cot).
- Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).
- Hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).
- Hàm số \(y = \tan u\left( x \right)\) xác định nếu \(\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).
- Hàm số \(y = \cot u\left( x \right)\) xác định nếu \(\sin u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne k\pi \).
Dạng 2: Tìm chu kì của hàm số.
Phương pháp:
- Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\).
- Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).
- Hàm số \(y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right)\) lần lượt có chu kỳ \({T_1},{T_2}\) thì hàm số \(y= {f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right)\) có chu kỳ \({T_0} = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right)\)
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác.
Phương pháp:
Sử dụng các đánh giá \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\) để đánh giá tập giá trị của hàm số.
Chú ý:
Khi tìm GTNN, GTLN cần xét điều kiện dấu “=” xảy ra.
Dạng 4. Giải phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp
Sử dụng các định lí về nghiệm của phương trình bên trên để giải phương trình
Dạng 5. Phương trình lượng giác thường gặp
Phương pháp
Đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi tìm nghiệm.
Dạng 6. Tìm m để phương trình thỏa mãn điều kiện.
Phương pháp
Sử dụng các định lí về nghiệm của phương trình bên trên để giải phương trình
PHẦN 2
TỔ HỢP - XÁC SUẤT
1. Quy tắc đếm
Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ...\)\( + \left| {{A_n}} \right|\)
Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|...\)\(...\left| {{A_n}} \right|\).
2. Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp
Số hoán vị của tập n phần tử: \({P_n} = n!\)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!}}\)
Tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\)
3. Nhị thức Niu- tơn
Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + \)\(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\).
Nhận xét:
Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau
* Gồm có \(n + 1\) số hạng
* Số mũ của \(a\) giảm từ \(n\) đến \(0\) và số mũ của \(b\) tăng từ \(0\) đến \(n\)
* Tổng các số mũ của \(a\) và \(b\) trong mỗi số hạng bằng \(n\)
* Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
* Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)
Một số hệ quả
Hệ qủa: Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + \)\({x^n}C_n^n\)
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
* \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)
* \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)
* \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k - 1}} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k} \)
* \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}} = {(1 + a)^n}\).
4. Phép thử và biến cố
· Không gian mẫu \(\Omega \) : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
· Biến cố \(A\) : là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra \(A\) . \(A \subset \Omega .\)
· Biến cố không: \(\emptyset \)
· Biến cố chắc chắn: \(\Omega \)
· Biến cố đối của \(A\) : \(\overline A = \Omega \backslash A\)
· Hợp hai biến cố: \(A \cup B\)
· Giao hai biến cố: \(A \cap B\) (hoặc \(A.B\) )
· Hai biến cố xung khắc: \(A \cap B{\rm{ }} = \emptyset \)
· Hai biến cố độc lập: việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
5. Xác suất của biến cố
- Xác suất của biến cố: \(P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
- \(0 \le P(A) \le 1,P(\Omega ) = 1,P(\emptyset ) = 0\)
- Qui tắc cộng: Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Mở rộng: \(A,B\) bất kì: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)-P(A.B)\)
- \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\)
- Qui tắc nhân: Nếu \(A,B\) độc lập thì \(P(A.B) = P(A).P(B)\)
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Bài toán đếm
Dạng 1.1. Đếm số lượng số tự nhiên
Phương pháp:
B1: Gọi số tự nhiên có n chữ số là \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_n}} \), Với \({a_1} \ne 0;{a_i}\left( {i = \overline {2,n} } \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
B2: Với mỗi \({a_i}\) ta đếm số các giá trị mà \({a_i}\) có thể nhận được, tùy theo bài toán mà lựa chọn vị trí \(i\left( {1 \le i \le n} \right)\) để đếm trước. Cần phân ra trường hợp nếu trùng điều kiện.
B3: Nếu bài toán phải chia trường hợp để đếm thì trong mỗi trường hợp, sau khi đếm số các giá trị mà \({a_i}\left( {i = \overline {1,n} } \right)\) có thể nhận thì dùng quy tắc nhân để tính số các số tự nhiên \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_n}} \). Rồi dùng quy tắc cộng để cộng số các số tự nhiên của tất cả các trường hợp trên.
Dạng 1.2: Đếm số cách sắp xếp
a) Sắp xếp xen kẽ 2 nhóm A, B
Phương pháp
TH1: Số phần tử 2 nhóm bằng nhau \(n\left( A \right) = n\left( B \right) = m\)\( \Rightarrow \)Số cách sắp xếp là \(2.m!.m!\) cách.
TH2: Số phần tử 2 nhóm hơn kém nhau 1 phần tử: \(n\left( A \right) = m;n\left( B \right) = m + 1\). Số cách sắp xếp là \(m!\left( {m + 1} \right)!\)
b) Sắp xếp theo nhóm A, B, C: \(n\left( A \right) = a,n\left( B \right) = b,n\left( C \right) = c\)
Phương pháp
TH1: Chỉ có các phần tử nhóm A kề nhau: Có \(a!\left( {b + c + 1} \right)!\) cách.
TH2: Các phần tử hai nhóm A, B kề nhau: Có \(a!b!\left( {c + 2} \right)!\) cách.
TH3: Các phần tử 3 nhóm kề nhau: Có \(a!b!c!3!\) cách.
Tương tự cho sắp xếp n nhóm.
c) Sắp xếp nhóm A có n phần tử sao cho có k phần tử \({a_1},{a_2},...,{a_k}\) không kề nhau \(\left( {k \le \dfrac{{n + 1}}{2}} \right)\).
Phương pháp
B1: Sắp xếp \(n - k\) phần tử thẳng hàng. Có \(\left( {n - k} \right)!\) cách.
B2: Sắp xếp \(k\) phần tử còn lại vào \(n - k + 1\) vị trí trống còn lại. Có \(A_{n - k + 1}^k\) cách.
B3: Vậy có \(\left( {n - k} \right)!A_{n - k + 1}^k\) cách sắp xếp.
Dạng 1.3: Đếm số cách chọn
a) Không sắp thứ tự
Phương pháp
Chọn k phần tử loại I trong n nhóm \({A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}\). Gọi \({a_i}\) là số phần tử của nhóm \({A_i}\) (\(0 \le {a_i} \le k\)), trong đó \({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = k\), chia các trường hợp của \({a_i}\) (\(0 \le {a_i} \le k\)).
b) Sắp thứ tự
Phương pháp
Dựa vào yêu cầu bài toán để chia ra các trường hợp. Sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử để tính toán.
Dạng 2. Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
Dạng 3. Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
Dạng 4. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton.
Dạng 4.1. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong KT: \({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\)
Phương pháp
B1: Khai triển \({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)
B2: Số hạng \({x^m}\) ứng với giá trị m thỏa mãn \(m = np - pk + qk\). Từ đó tìm \(k = \dfrac{{m - np}}{{q - p}}\)
B3: Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) với \(k = \dfrac{{m - np}}{{q - p}}\).
Dạng 4.2. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong KT: \(P(x) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\)
B1: Khai triển \(\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n= \)\(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \)
B2: Viết số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo lũy thừa của x.
B3. Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tìm được hệ số của \({x^m}\).
Dạng 4.3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton.
B1: Tính hệ số \({a_k}\) theo k và n
B2: Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn k
B3: Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên lớn nhất thỏa bất phương trình trên .
Dạng 5. Bài toán tổng \(\sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}} C_n^k{b^k}\)
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +\)\(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên .
Phương pháp 2: Tìm đẳng thức đặc trưng cho tổng. Rồi biến đổi số hạng tổng quát của tổng thành số hạng có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn ( hoặc có sẵn).
Dạng 6. Tính xác suất
Phương pháp
B1. Tìm không gian mẫu, tính \(n\left( \Omega \right)\).
B2. Xác định biến cố A, đếm số kết quả có thể xảy ra của biến cố \(n\left( A \right)\).
B3. Tính xác suất của biến cố A: \(P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
PHẦN 3
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.
Phương pháp:
- Bước 1: Chứng minh \(P(n)\) đúng với \(n = 1\).
- Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P(n)\) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh \(P(n)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Chú ý:
Đối với bài toán chứng minh \(P(n)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \(P(n)\) đúng với \(n = p\).
- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P(n)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P(n)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.
Phương pháp:
- Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.
- Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.
Dạng 3: Tìm số hạng của dãy số.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi để tìm số hạng của dãy.
Dạng 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Phương pháp:
- Bước 1: Liệt kê các số hạng của dãy số và dự đoán công thức tổng quát.
- Bước 2: Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.
Dạng 5: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.
Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số \(({u_n})\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
- Dãy số \(({u_n})\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều chỉ tăng hoặc giảm.
Có những dãy số không tăng cũng không giảm như \({u_n} = {( - 3)^n}\) tức là \( - 3;9; - 27;81;...\)
Dãy số bị chặn:
Dãy số \(({u_n})\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\({u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(({u_n})\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\({u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(({u_n})\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho
\(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dạng 6: Nhận biết cấp số cộng, cấp số nhân.
Phương pháp:
Cấp số cộng:
- Bước 1: Tính \(d = {u_n} - {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).
- Bước 2: Kết luận:
+ Nếu \(d\) là số không đổi thì dãy \(({u_n})\) là cấp số cộng.
+ Nếu \(d\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(({u_n})\) không là cấp số cộng.
Cấp số nhân:
- Bước 1: Tính \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1\).
- Bước 2: Kết luận:
+ Nếu \(q\) là số không đổi thì dãy \(({u_n})\) là cấp số nhân.
+ Nếu \(q\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(({u_n})\) không là cấp số nhân.
Dạng 7: Tìm công sai của cấp số cộng , tìm công bội của cấp số nhân.
Phương pháp:
- Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.
- Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân.
Dạng 8: Tìm số hạng của cấp số cộng, cấp số nhân.
- Cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\)
- Cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
Dạng 9: Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.
Cấp số cộng: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{({u_1} + {u_n}).n}}{2}\)\(= \dfrac{{{\rm{[2}}{{\rm{u}}_1}{\rm{ + (n - 1)d]}}.n}}{2}\)
Cấp số nhân: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \)\(= \dfrac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
Dạng 10: Tìm cấp số cộng, cấp số nhân
Cấp số cộng:
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\).
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
Cấp số nhân:
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số nhân như: số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\).
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).
PHẦN 4
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Phép tịnh tiến
Định nghĩa: \({T_{\overrightarrow v }}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \)
Biểu thức tọa độ: \({T_{\overrightarrow v (a;b)}}(M) = M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M} + a\\{y_{M'}} = {y_M} + b\end{array} \right.\)
Tính chất: Phép tịnh tiến biến
- Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự.
- Tam giác thành tam giác bằng nó.
- Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
2. Phép đối xứng tâm
Định nghĩa:
ĐI(\(M\))=\(M' \Leftrightarrow I\) là trung điểm của \(MM'\).
Biểu thức tọa độ: ĐI(\(M\))=\(M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_I} - {y_M}\end{array} \right.\)
Tính chất: Phép đối xứng tâm biến:
- Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự.
- Tam giác thành tam giác bằng nó.
- Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Phép đối xứng trục
Định nghĩa: \({Đ}_\Delta \left( M \right) = \)\(M' \Leftrightarrow \Delta \) là đường trung trực của \(MM'\).
Biểu thức tọa độ:
\({Đ}_{\Delta :ax + by + c = 0}\)\((M)=M'\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M} - 2a.\dfrac{{a{x_M} + b{y_M} + c}}{{{a^2} + {b^2}}}\\{y_{M'}} = {y_M} - 2b.\dfrac{{a{x_M} + b{y_M} + c}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)
Tính chất: Phép đối xứng trục biến
- Đường thẳng thành đường thẳng.
- Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự.
- Tam giác thành tam giác bằng nó.
- Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
4. Phép quay
Định nghĩa: \({Q_{\left( {I;\varphi } \right)}}(M) = M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IM = {\mathop{\rm I}\nolimits} M'\\(IM;IM') = \varphi \end{array} \right.\)
Biểu thức tọa độ:
\({Q_{\left( {I;\varphi } \right)}}(M) = M' \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - {x_I} = \left( {x - {x_I}} \right)\cos \varphi - \left( {y - {y_I}} \right)\sin \varphi \\y' - {y_I} = \left( {x - {x_I}} \right)\sin \varphi + \left( {y - {y_I}} \right)\cos \varphi \end{array} \right.\)
Đặc biệt:
+) \(\varphi = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.\)
+) Nếu \(\varphi = - 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' = - x\end{array} \right.\)
+) Nếu \(\varphi = 180^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\)
Tính chất:
- Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).
- Với \(k \in \mathbb{Z}\) ta luôn có: \({Q_{\left( {O,2k\pi } \right)}}\) là phép đồng nhất; \({Q_{\left( {O,\left( {2k + 1} \right)\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm.
- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
5. Phép dời hình
Định nghĩa: \({V_{\left( {o,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)
Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \({V_{\left( {I,k} \right)}}\) tâm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right){x_0}\\y' = ky + \left( {1 - k} \right){y_0}\end{array} \right.\)
Tính chất:
- Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành \(M',\,N'\) thì
\(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \) và \(M'N' = \left| k \right|MN\).
- Phép vị tự tỉ số \(k:\)
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến đường tròn bán kính \({\rm{R}}\)thành đường tròn có bán kính \(\left| k \right|.R\)
6. Phép đồng dạng
Định nghĩa: Một phép biến hình \(F\) được gọi là phép đồng dạng tỉ số \(k\,\,\,\left( {k > 0} \right)\) nếu với hai điểm bất kỳ \(M,N\) và ảnh \(M',N'\) tương ứng của chúng ta luôn có \(M'N' = kMN.\)
Tính chất:
- Phép đồng dạng tỉ số \(k\) :
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toán thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến một đường tròn bán kính \(R\) thành đường tròn bán kính \(\left| k \right|.R\).
7. Phép dời hình và hai hình bằng nhau
- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Dựng ảnh của một hình qua một phép biến hình
Phương pháp:
B1: Tìm ảnh của các yếu tố xác định một hình.
B2: Dựng ảnh của hình theo các yếu tố đã tìm.
Dạng 2. Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố của phép biến hình
B1: Lập công thức tọa độ của phép biến hình
B2: Thay dữ kiện giả thiết đã cho vào công thức tọa độ
B3: Tìm đại lượng theo yêu cầu bài toán.
Dạng 3. Viết phương trình ảnh của một hình qua phép biến hình cho trước.
Phương pháp:
Cách 1: Xác định yếu tố
B1: Tìm các yếu tố xác định hình đã cho
B2: Tìm ảnh của các yếu tố này qua phép biến hình cho trước\( \to \) Suy ra các yếu tố của ảnh cần tìm
B3: Từ các yếu tố tìm được ở B2 lập phương trình ảnh.
Cách 2: Thế biểu thức tọa độ
B1: Lập biểu thức tọa độ ảnh của một điểm qua phép biến hình đã cho\( \to \)Rút ra biểu thức tọa độ của điểm tạo ảnh
B2: Thế biểu thức tọa độ điểm (tạo ảnh) vào phương trình của hình (tạo ảnh) đã cho.
B3: Rút gọn ta được phương trình cần tìm.
Đặc biệt: Cho \(\Delta :ax + by + c = 0;\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right)\). Khi đó, ta có:
1) \({T_{\overrightarrow v }}(\Delta ) = \Delta '\)
\(\Delta ':ax + by+\)\(\left[ {a\left( { - {v_1}} \right) + b\left( { - {v_2}} \right) + c} \right] = 0\)
2) \({D_{\overrightarrow v }}(\Delta ) = \Delta '\)
\(\Delta ':ax + by + \left[ { - 2a{x_1} - 2b{y_1} - c} \right] = 0\)
3) \({D_O}(\Delta ) = \Delta '\) \( \to \Delta ':ax + by - c = 0\)
4) \({D_{Ox}}(\Delta ) = \Delta '\) \( \to \Delta ':ax - by + c = 0\)
5) \({D_{Oy}}(\Delta ) = \Delta '\) \( \to \Delta ': - ax + by + c = 0\)
6) \({Q_{(O;90^\circ )}}(\Delta ) = \Delta '\)\( \to \Delta ': - bx + ay + c = 0\)
7)\({Q_{(O; - 90^\circ )}}(\Delta ) = \Delta '\) \( \to \Delta ':bx - ay + c = 0\)
8) \({V_{(O;k)}}(\Delta ) = \Delta '\) \( \to \Delta ':ax + by + kc = 0\)
PHẦN 5
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG.
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (2 cách)
Cách 1: Tìm 2 điểm chung.
Cách 2: Tìm 1 điểm chung và 2 đường thẳng song song chứa trong hai mp.
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Cách 1: Chọn mặt phẳng thích hợp chứa đường thẳng đã cho- Tìm giao tuyến của mặt phẳng vừa chọn với mặt phẳng ban đầu. Giao tuyến ấy cắt đường thẳng đã cho tại điểm cần tìm.
Cách 2. Dựng giao điểm sau đó chứng minh điểm đó thuộc đường thẳng và mặt phẳng đã cho.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
Phương pháp
a) Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Tức là:
- Tìm \(d = (\alpha ) \cap (\beta )\);
- Chỉ ra (chứng minh) \(d\) đi qua ba điểm \(A,B,C\) \( \Rightarrow A,B,C\) thẳng hàng.
Hoặc chứng minh đường thẳng \(AB\) đi qua \(C\) \( \Rightarrow A,B,C\) thẳng hàng.
b) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.
- Bước 1: Tìm \(I = {d_1} \cap {d_2}\).
- Bước 2: Chứng minh \({d_3}\) đi qua \(I\).
\( \Rightarrow {d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy tại \(I\).
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và đôi một ở trong ba mặt phẳng phân biệt.
- Bước 1: Xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1},{d_2} \subset (\alpha );{d_1} \cap {d_2} = {I_1}\\{d_2},{d_3} \subset (\beta );{d_2} \cap {d_3} = {I_2}\\{d_3},{d_1} \subset (\gamma );{d_3} \cap {d_1} = {I_3}\end{array} \right.\) trong đó \((\alpha )\), \((\beta )\), \((\gamma )\) phân biệt.
- Bước 2: Kết luận \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy tại \(I \equiv {I_1} \equiv {I_2} \equiv {I_3}\).
Phương pháp 3:
- Chứng minh \(a,b,c\) lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right),\left( \delta \right)\) trong đó có hai giao tuyến cắt nhau.
- Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được \(a,b,c\) đồng qui.
Dạng 4. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Sử dụng một trong các cách sau:
+ Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talet,…)
+ Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
+ Áp dụng định lí về giao tuyến song song.
+ Sử dụng các tính chất:
1) \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( \alpha \right)\\d \subset \left( \beta \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'\end{array} \right. \Rightarrow d'\parallel d\)
2) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel d\\\left( \beta \right)\parallel d\\\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'\end{array} \right. \Rightarrow d'\parallel d\)
Dạng 5. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Phương pháp
Cách 1: Tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng mà song song với đường thẳng đã cho.
Cách 2: Chứng minh đường thẳng đó là giao của hai mặt phẳng mà lần lượt cắt mặt phẳng đã cho theo hai giao tuyến song song.
Dạng 6. Xác định thiết diện của hình chóp
Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\), cắt hình chóp bởi một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh của hình chóp.
- Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên thành đa giác.
- Bước 3: Kết luận: Đa giác tìm được ở trên chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Dạng 7. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp
Cách 1:
- Bước 1: Chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) chứa hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng \(a',b'\) cắt nhau trong mặt phẳng \((\beta )\).
- Bước 2: Kết luận \((\alpha )\parallel (\beta )\) theo điều kiện cần và đủ.
Cách 2:
- Bước 1: Tìm hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau trong mặt phẳng \((\alpha )\).
- Bước 2: Lần lượt chứng minh \(a\parallel (\beta )\) và \(b\parallel (\beta )\).
- Bước 3: Kết luận \((\alpha )\parallel (\beta )\).
Cách 3: Sử dụng tính chất
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
