Đề bài
Chứng minh rằng hàm số
f(x)={(x−1)2 nếu x≥0−x2 nếu x<0
không có đạo hàm tại điểm x=0 nhưng có đạo hàm tại điểm x=2.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Điều kiện cần để hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x=x0 là hàm số liên tục tại x=x0.
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại x=x0:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại x0.
Lời giải chi tiết
Ta có:
limx→0+f(x)=limx→0+(x−1)2=(0−1)2=1limx→0−f(x)=limx→0−(−x2)=−02=0⇒limx→0+f(x)≠limx→0−f(x)
Do đó hàm số y=f(x) gián đoạn tại x=0.
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0 (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
limx→2f(x)−f(2)x−2=limx→2(x−1)2−1x−2=limx→2x2−2xx−2=limx→2x(x−2)x−2=limx→2x=2
Vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x=2 và f′(2)=2.
