Video hướng dẫn giải
Cho hai dãy số \((u_n)\), \((v_n)\) với
\({u_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\) và \({v_n} = {{n\cos {\pi \over n}} \over {{n^2} + 1}}\)
LG a
Tính \(\lim u_n\)
Phương pháp giải:
Tính \(\lim {u_n}\): Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\lim {u_n} = \lim {n \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{n^2}({1 \over n})} \over {{n^2}(1 + {1 \over {{n^2}}})}} \) \(= \lim {{{1 \over n}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = {0 \over 1} = 0\)
LG b
Chứng minh rằng \(\lim v_n= 0\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
Lời giải chi tiết:
Theo câu a, do \(\lim {u_n} = 0\) nên với \(\forall \varepsilon > 0,\exists {n_0} \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \ge {n_0}\) ta có \(\left| {{u_n}} \right| \le \varepsilon \) hay \(\left| {\dfrac{n}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \varepsilon \).
Khi đó \(\left| {{v_n} - 0} \right| = \left| {\dfrac{{n\cos \dfrac{\pi }{n}}}{{{n^2} + 1}}} \right|\) \( = \left| {\dfrac{n}{{{n^2} + 1}}} \right|.\left| {\cos \dfrac{\pi }{n}} \right|\) \( \le \left| {\dfrac{n}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \varepsilon \) hay \(\lim {v_n} = 0\) (đpcm).
