Đề bài
Cho hình chữ nhật \(ABCD.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\) Gọi \(E, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Chứng minh rằng các hình thang \(AEIB\) và \(CFID\) bằng nhau.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
\(I\) là giao điểm \(AC\) và \(BD\) nên \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\)
Mà \(AC = BD ⇒ AI = BI = {1 \over 2} AC = {1 \over 2} BD\)
Gọi \(E, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD\) và \(BC ⇒ EF\) là đường trung bình của hình chữ nhật \(ABCD\) và \(AE = BF = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\)
\(⇒ EF // AB ⇒ EF\) vuông góc với \(AD\) và \(EF\) vuông góc với \(BC\)
Xét hai tam giác vuông \(AEI\) và \(BFI\) có:
\(AI = BI\)
\(AE = BF\)
\(⇒ ΔAEI = ΔBFI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\(⇒ EI = FI\) (hai cạnh tương ứng)
\(⇒ I\) là trung điểm \(EF\)
Do đó, phép đối xứng qua tâm \(I\) biến hình thang \(AEIB\) thành hình thang \(CFID\)
⇒ Hai hình thang \(AEIB\) và \(CFID\) bằng nhau.
