Video hướng dẫn giải
Cho dãy số \(u_n\) , biết:
\( u_1 = -1; u_{n+1} = u_n +3\) với \(n ≥ 1\).
LG a
Viết năm số hạng đầu của dãy số
Phương pháp giải:
Công thức đã cho có thể hiểu là số hạng sau bằng số hạng trước cộng với \(3\).
Lời giải chi tiết:
\(u_1 =-1\).
\({u_2} = u_1 + 3= - 1 + 3 = 2\).
\({u_3} = u_2 + 3= 2 + 3 = 5\).
\({u_4} = u_3 + 3= 5 + 3 = 8\).
\({u_5} = u_4 + 3= 8 + 3 = 11\).
Năm số hạng đầu của dãy số là: \(u_1=-1; u_2= 2; u_3= 5;\) \( u_4= 8; u_5= 11\)
LG b
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4\).
Phương pháp giải:
Nội dung phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với \(n=1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\).
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).
Lời giải chi tiết:
Chứng minh \(u_n = 3n - 4\) (*) bằng phương pháp quy nạp:
+) Do \(u_1 = -1= 3.1 - 4 \) nên (*) đúng với \(n =1\)
+) Giả sử (*) đúng với \(n = k , k ≥ 1\), tức là \(u_k= 3k -4\).
Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh \({u_{k + 1}} = 3\left( {k + 1} \right) - 4 \).
Thật vậy, từ giả thiết \(u_{n+1}= u_n+ 3\) với mọi \(n\) ta suy ra:
\(u_{k+1}= u_k+ 3 = 3k - 4 + 3 \) \(=(3k+3) - 4= 3(k + 1) -4\)
hay \({u_{k + 1}} = 3\left( {k + 1} \right) - 4 \)
Do đó (*) đúng với \(n=k+1\).
Kết luận: Vậy hệ thức đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).
