Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA=SB=SC=a. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD);
b) Tam giác SBD là tam giác vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh AC⊥(SBD).
b) Chứng minh tam giác SBD có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó.
Lời giải chi tiết
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Theo tính chất của hình thoi thì O là trung điểm của AC,BD
Xét tam giác cân SAC cân tại S ta có:
SO vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó SO⊥AC (1)
Mặt khác ABCD là hình thoi nên AC⊥BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC⊥(SBD)
AC⊂(ABCD)⇒(ABCD)⊥(SBD)
b) ∆SAC=∆BAC(c.c.c)
Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: SO=BO
O là trung điểm của BD nên OB=OD
⇒SO=BO=12BD
Tam giác SBD có trung tuyển SO=12BD nên vuông tại S. (đpcm)
Cách khác:
Tam giác SOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:
SO2=SC2−OC2=a2−OC2
Tam giác BOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:
BO2=BC2−OC2=a2−OC2
⇒SO=BO=12BD
Tam giác SBD có trung tuyển SO=12BD nên vuông tại S. (đpcm)
