Video hướng dẫn giải
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
LG a
\(u_n= 5 - 2n\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa cấp số cộng:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Ta chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n} = const\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({u_1} = 5 - 2.1 = 3\)
Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 2\left( {n + 1} \right) - \left( {5 - 2n} \right) \)
\(= 5 - 2n - 2 - 5 + 2n = -2\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - 2 ,\forall n \in {N^*}\)
LG b
\(u_n= \dfrac{n}{2}- 1\)
Lời giải chi tiết:
LG c
\(u_n= 3^n\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} \) \(= {3^n}\left( {3 - 1} \right) = {2.3^n}\) không là hằng số (phụ thuộc \(n\)).
Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
Chú ý:
Cách giải thích khác:
\({u_n}\; = {\rm{ }}{3^n}\; \Rightarrow \;{u_1}\; = {\rm{ }}3\)
giả sử \(n \ge 1\), xét hiệu sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\; = {\rm{ }}{3^{n + 1}}\;-{\rm{ }}{3^n}\; = {\rm{ }}{3^n}\;.{\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}{3^n}\; = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){{.3}^n}\; = {\rm{ }}{{2.3}^n}}\\
{\text{Và } \, {\rm{ }}{u_n}\;-{\rm{ }}{u_{n - 1}}\; = {\rm{ }}{3^n}\;-{\rm{ }}{3^{n - 1}}\; = {\rm{ }}{{3.3}^{n - 1}}\; - {\rm{ }}{3^{n - 1}}\; = {\rm{ }}\left( {3 - {\rm{ }}1} \right){{.3}^{n - 1}}\; = {\rm{ }}{{2.3}^{n - 1}}}\\
{ \Rightarrow \;{u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\; \ne {\rm{ }}{u_n}\;-{\rm{ }}{u_{n--{\rm{ }}1}}\;(\text{Vì} \, {\rm{ }}{3^n}\; \ne {\rm{ }}{3^{n - 1}},\;\forall \;n{\rm{ }})}
\end{array}\)
\( \Rightarrow \;({u_n})\) không phải là cấp số cộng.
LG d
\(u_n= \dfrac{7-3n}{2}\)
Lời giải chi tiết:
