Đề bài
Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là một hình thoi tâm II cạnh aa và có góc AA bằng 600,600, cạnh SC=a√62SC=a√62 và SCSC vuông góc với mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
a) Chứng minh mặt phẳng (SBD)(SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)(SAC).
b) Trong tam giác SCASCA kẻ IKIK vuông góc với SASA tại KK. Hãy tính độ dài IKIK
c) Chứng minh ^BKD=900ˆBKD=900 và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB)(SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD)(SAD).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Chứng minh tam giác SCASCA và IKAIKA đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tính IKIK.
c) Chứng minh tam giác BKDBKD có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB)(SAB) và (SAD)(SAD) và chứng minh góc đó bằng 900900.
Lời giải chi tiết
a) SC⊥(ABCD)⇒SC⊥BD(1)SC⊥(ABCD)⇒SC⊥BD(1)
ABCDABCD là hình thoi nên AC⊥BD(2)AC⊥BD(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD⊥(SAC)BD⊥(SAC).
Mà BD⊂(SBD)⇒(SBD)⊥(SAC)BD⊂(SBD)⇒(SBD)⊥(SAC).
b) Xét tam giác ABD có AB=AD và góc A=600 nên là tam giác đều.
Do đó AI=a√32⇒AC=2AI=a√3
SC⊥(ABCD)⇒SC⊥CA nên tam giác SAC vuông tại C.
Xét tam giác vuông SAC có: SA=√AC2+SC2=√3a2+6a24 =3a√2.
Xét ΔSCA và ΔIKA có:
{Achung^SCA=^IKA=900
⇒ ΔSCA∽ΔIKA(g.g)
⇒IKSC=AIAS ⇒IK=AI.SCAS=a2.
c) Dễ thấy ΔABD đều nên BD=a ⇒IK=12BD nên ΔBKD vuông tại K.
Vậy ^BKD=900.
Ta có: BD⊥(SAC)(cmt)⇒BD⊥SA
{BD⊥SAIK⊥SA⇒SA⊥(BKD)⇒{SA⊥BKSA⊥DK
Ta có:
{(SAB)∩(SAD)=SA(SAB)⊃BK⊥SA(SAD)⊃DK⊥SA
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng góc giữa hai đường thẳng BK và DK là góc ^BKD=900. (đpcm)
