Đề bài
Cho hình tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng quy tắc ba điểm và công thức \({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 }\) với \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Lời giải chi tiết
Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} \\
\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} \\
\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC}
\end{array} \right.\)
\(\eqalign{& \Rightarrow \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} \cr & = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \cr & = 3\overrightarrow {DG} + \underbrace {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)}_{\overrightarrow 0 } \cr & = 3\overrightarrow {DG} \cr} \)
(Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)).
