Đề bài
Cho vectơ →v, đường thẳng d vuông góc với giá của vectơ →v. Gọi d′ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ 12 →v. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ →v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d′.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.
Phép tịnh tiến theo vector →v biến điểm A thành điểm A′ ⇔→AA′=→v.
Phép đối xứng trục d biến điểm A thành A′ ⇔ d là trung trực của AA′.
Lời giải chi tiết
Lấy A bất kì thuộc đường thẳng d, xác định điểm B sao cho →AB=→v2, qua B kẻ đường thẳng d′//d. Khi đó d′ chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vector →v2.
Lấy M\) là một điểm bất kì, gọi M′=Dd(M);M″=Dd′(M′)
Gọi M0=MM′∩d;M1=M′M″∩d′⇒M0 và M1 lần lượt là trung điểm của MM′ và M′M″.
Ta có →MM′=2→M0M′;→M′M″=2→M′M1
⇒→MM″=→MM′+→M′M″=2→M0M′+2→M′M1=2(→M0M′+→M′M1)=2→M0M1=2→AB=→v⇒T→v(M)=M″
Vậy phép tịnh tiến theo vector →v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d′.
