Đề bài
Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết |u_n– 2| ≤ v_n với mọi n và \lim v_n=0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
Dãy số (u_n) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |{u_n}| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Lời giải chi tiết
Vì \lim v_n=0 nên |{v_n}| nhỏ hơn một số dương \varepsilon bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nghĩa là |{v_n}| < \varepsilon kể từ một số hạng nào đó trở đi.
⇒ |{u_n}-2| \le {v_n} \le |{v_n}| < \varepsilon hay |{u_n}-2| < \varepsilon bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
⇒ \lim ({u_n}-2) = 0 (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)
⇒ \lim {u_n} = 2.
Cách khác:
Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp như sau:
Với mọi n ∈ \mathbb N^* , ta có: |u_n– 2| ≤ v_n⇔ -v_n ≤ u_n– 2 ≤ v_n
Mà \lim (-v_n) = \lim (v_n) = 0 nên \lim (u_n– 2) = 0 ⇔ \lim u_n – \lim 2 = 0 ⇔ \lim u_n= 2.
