Đề bài
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC \) có \(SH\) là đường cao. Chứng minh \(SA ⊥ BC\) và \(SB ⊥ AC\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(BC \bot \left( {SAH} \right);\,\,AC \bot \left( {SBH} \right)\).
Lời giải chi tiết
Hình chóp tam giác đều nên ta có \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)
\(SH ⊥ (ABC) \Rightarrow SH ⊥ BC\)
Và \(AH ⊥ BC\) (vì \(H\) là trực tâm)
Suy ra \( BC ⊥ (SAH)\)
\(SA\subset (SAH)\Rightarrow BC ⊥ SA\).
Chứng minh tương tự, ta có:
\(SH \, \bot \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \, \bot \, AC\).
Mà \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow BH \, \bot \, AC\)
\( \Rightarrow AC \, \bot \, \left( {SBH} \right);\,\,SB \subset \left( {SBH} \right) \) \(\Rightarrow AC \, \bot \, SB\)
Cách khác:
Sử dụng định lí ba đường vuông góc
+ Ta có: \(AH ⊥ BC\)
Mà \(AH\) là hình chiếu của \(SA\) trên \((ABC)\)
\(⇒ BC ⊥ SA\) ( định lí ba đường vuông góc)
+ Lại có : \(AC ⊥ BH.\)
\(BH\) là hình chiếu của \(SB\) trên \((ABC)\)
\(⇒ AC ⊥ SB\) ( định lí ba đường vuông góc)
