Đề bài
Câu 1: Tính limbằng?
A. -2. B. 5.
C. 9. D. 10.
Câu 2: Cho hàm số f(x) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I) f(x)gián đoạn tại x = 1.
(II) f(x)liên tục tại x = 1.
(III) \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}
A.Chỉ (I) B. Chỉ (II)
C. Chỉ (I) và (III) D. Chỉ (II) và (III)
Câu 3: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
II. f(x) không liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) \ge 0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng
C. Cả I và II đúng D. Cả I và II sai
Câu 4: Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,,x \ne 0}\\{a + 2\,\,\,,x = 0}\end{array}} \right.. Tìm a để f(x)liên tục tại x = 0.
A.1 B. -1
C. -2 D. 2
Câu 5: Chọn giá trị f(0)để hàm số f(x) = \dfrac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}} liên tục tại x = 0.
A.1 B. 2
C. 3 D. 4
Câu 6: Tìm a để hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,,khi\,x > 1}\\{\dfrac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}}\,\,\,,khi\,x \le 1}\end{array}} \right. liên tục tại x = 1.
A. \dfrac{1}{2} B. \dfrac{1}{4}
C. \dfrac{3}{4} D. 1
Câu 7: Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,,0 < x < 9}\\{m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0}\\{\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x \ge 9}\end{array}} \right.\,\,. Tìm m để f(x)liên tục trên {\rm{[}}0; + \infty ) là:
A. \dfrac{1}{3} B. \dfrac{1}{2}
C. \dfrac{1}{6} D. 1
Câu 8: Cho hàm số f(x) = {x^3} - 1000{x^2} + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây.
I.(-1;0) , II. (0;1) , III. ( 1;2).
A. Chỉ I B. Chỉ I và II
C. Chỉ II D. Chỉ III
Câu 9: Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}}bằng?
A. \dfrac{1}{5}. B. \dfrac{2}{5}.
C. \dfrac{1}{2}. D. \dfrac{1}{3}.
Câu 10: Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} \,\,\,\,\,;x \ne 3;x \ne 2}\\{b + \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,;x = 3;b \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.. Tìm b để f(x)liên tục tại x = 3.
A. \sqrt 3 B. - \sqrt 3
C. \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} D. - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}
Lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | D | C | A | B | A | C | C | B | D | D |
Câu 1: Đáp án D
Đặt f\left( x \right) = 3{x^2} - 3x - 8. Hàm số xác định trên R
Giả sử \left( {{x_n}} \right) là một dãy số bất kì thỏa mãn {x_n} > 0và {x_n} \ne - 2và {x_n} \to - 2khi n \to \infty
Ta có \lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {3{x_n}^2 - 3{x_n} - 8} \right) = 10
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {3{x^2} - 3x - 8} \right) = 10
Câu 2: Đáp án D
f(x) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}}
f(1) = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt 1 + 1} \right)}} = \dfrac{1}{2}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{2}
Ta thấy \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2} = f\left( 1 \right)suy ra hàm số liên tục tại x=1
Câu 3 : Đáp án A
Câu 4 : Đáp án B
Đặt t=5x
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 5x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \dfrac{{\sin t}}{t} = 1
Để hàm số liên tục tại x=0 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)hay a + 2 = 1 \Rightarrow a = - 1
Câu 5 : Đáp án A
\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {2x + 1} + 1}}{{x(x + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x(x + 1)(\sqrt {2x + 1} - 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{(x + 1)(\sqrt {2x + 1} - 1)}} = \dfrac{2}{2} = 1\end{array}
Để f(x) liên tục tại x=0 thì f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1
Câu 6 : Đáp án C
\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} = \dfrac{3}{8}\end{array}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}} = \dfrac{a}{2}
Để hàm số liên tục tại x=1 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}
Câu 7 : Đáp án C
\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{6}\end{array}
f\left( 0 \right) = m
\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{1}{{\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{3}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right). Hàm số liên tục tại x=9
Với x > 9 thì f\left( x \right) = \dfrac{3}{x} liên tục
Vậy để f(x)liên tục trên {\rm{[}}0; + \infty ) thì \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6}
Câu 8: Đáp án B
\begin{array}{l}f( - 1) = - 1000,99\\f(0) = 0,01\\f(1) = - 998,99\\f(2) = - 3991,99\\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0\\\,\,\,\,\,\,f(0).f(1) < 0\end{array}
Do đó f(x) =0 có nghiệm trong các khoảng I và II
Câu 9: Đáp án D
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{3}
Câu 10: Đáp án D
f\left( 3 \right) = b + \sqrt 3
\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{10}}{{5(9 - 6 + 3)}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}
Để hàm số liên tục tại x = 3 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = b + \sqrt 3 \Rightarrow b = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}
