Đề bài
Cho dãy số \((u_n)\) với : \(u_n = \sqrt 2 + (\sqrt2)^2+......+( \sqrt 2)^n\)
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. \(\lim {u_n} = \sqrt 2 + {(\sqrt 2 )^2} + ... + {(\sqrt 2 )^n}+... \) \(= {{\sqrt 2 } \over {1 - \sqrt 2 }}\)
B. \(\lim u_n = -∞\)
C. \(\lim u_n= +∞\)
D. Dãy số \((u_n)\) không có giới hạn khi \(n \rightarrow +∞\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1\) và công bội \(q \) là: \({{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
+ Ta có \((u_n)\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1= \sqrt 2\) và công bội \(q = \sqrt 2\) nên:
\(\eqalign{
& {u_n} = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - {{(\sqrt 2 )}^n}} \right]} \over {1 - \sqrt 2 }}\cr&= {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right]} \over {\sqrt 2 - 1}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 - 1}}.\left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right] \cr} \)
Vì \(\sqrt 2 > 1\) nên \(\lim{[(\sqrt 2)^n -1]}= + ∞ ; \, {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 - 1}} > 1\);
\(\Rightarrow \lim {u_n} = +∞\)
Chọn đáp án C.
Chú ý:
Đây không phải cấp số nhân lùi vô hạn nên không áp dụng công thức A được.
