Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B,C,D,A′,B′,D′ đến đường chéo AC′ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Xác định và tính khoảng cách từ điểm B đến AC′ bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
+) Chứng minh các tam giác bằng nhau và suy ra các đường cao tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi K là hình chiếu của B trên AC′.
Ta có AB⊥(BCC′B′)⇒AB⊥BC′⇒ΔABC′ vuông tại B.
Dễ thấy BC′ là đường chéo của hình vuông cạnh a⇒BC′=a√2.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC′ có:
1BK2=1BA2+1BC2 =1a2+1(a√2)2=32a2⇒BK=a√63.
Ta có:
ΔABC′=ΔC′CA=ΔADC′=ΔAA′C′=ΔC′B′A=ΔC′D′A
(c.g.c)
Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.
Vậy khoảng cách từ B,C,D,A′,B′,D′ tới AC′ đều bằng a√63.
