Video hướng dẫn giải
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa \(6\) quả trắng, \(4\) quả đen. Hộp thứ hai chứa \(4\) quả trắng, \(6\) quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
\(A\) là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng";
\(B\) là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng".
LG a
Xét xem \(A\) và \(B\) có độc lập không.
Phương pháp giải:
Định nghĩa hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố B. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Lời giải chi tiết:
Phép thử \(T\) được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".
Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai
+ Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;
⇒ n(Ω) = 10.10 = 100.
A: “ Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B
⇒ n(A) = 6.10 = 60.
Suy ra \(P(A) \)= \(\frac{60}{100}\) = \(0,6\).
B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”
⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A
⇒ n(B) = 4.10 = 40.
Suy ra \(P(B)\) = \(\frac{40}{100}\) = \(0,4\).
A.B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B
⇒ n(A.B) = 6.4 = 24.
Suy ra: \(P(A . B)\) = \(\frac{24}{100}\) = \(0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B)\).
Như vậy, ta có \(P(A . B) = P(A) . P(B)\).
Suy ra \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau.
LG b
Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Phương pháp giải:
Gọi C là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra cùng màu" ta có \(C = A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\). Với \(\overline A ;\,\,\overline B \) lần lượt là các biến cố đối của biến cố A và B.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(C\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có
\(C = A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\).
Trong đó \(\overline{A}\) = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(0,4\).
\(\overline{B}\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P(\(\overline{B}\)) = \(0,6\).
Và ta có \(A . B\) và \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\) là hai biến cố xung khắc với nhau.
\(A\) và \(B\) độc lập với nhau, nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
\(P(C) = P\)(\(A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\))
\(=P(A . B)\) + \(P\)( \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\)) = \(P(A) . P(B)\) + \(P\)(\(\overline{A}\)) . \(P\)(\(\overline{B}\))
\(=0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48\).
LG c
Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Phương pháp giải:
Gọi D là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra khác màu" ta có \(D = \overline C \).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(D\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có
\(D= \overline{C}\Rightarrow P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52\).
