Đề bài
Câu 1: Giá trị của \(\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{n}\) bằng:
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. 0 D. 1
Câu 2: Cho \(\lim \,{u_n} = L\). Chọn mệnh đề đúng:
A. \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = L\)
B. \(\lim \sqrt[{}]{{{u_n}}} = L\)
C. \(\lim \sqrt[{}]{{{u_n}}} = \sqrt L \)
D. \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\)
Câu 3: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 2)\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \)
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. 0
C. 1 D. Không tồn tại
Câu 4: Giá trị của \(\lim \dfrac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{(3n - 1)}^2}}}\) bằng
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \(\dfrac{4}{9}\) D. 1
Câu 5: Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = (n - 1)\sqrt {\dfrac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \). Chọn kết quả đúng của \(\lim {u_n}\)là
A. \( - \infty \) B. 0
C. 1 D. \( + \infty \)
Câu 6: \(\lim \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}}\) bằng
A. \( + \infty \) B. 1
C.0 D. \( - \infty \)
Câu 7: Giá trị của \(\lim (\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}})\) bằng
A. \( - \infty \) B. \( + \infty \)
C. \(\dfrac{1}{3}\) D. 1
Câu 8: Tính giới hạn sau: \(\lim \left[ {\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}} \right]\)
A. \(\dfrac{{11}}{{18}}\) B. 2
C. 1 D. \(\dfrac{3}{2}\)
Câu 9: Chọn đáp án đúng: Với là các hằng số và nguyên dương thì:
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty \)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0\)
D.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty \)
Câu 10: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{4{x^3} - 1}}{{3{x^2} + x + 2}}\) bằng
A. \( - \infty \) B. \(\dfrac{{ - 11}}{4}\)
C. \(\dfrac{{11}}{4}\) D. \( + \infty \)
Câu 11: Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{2x}}\)
A. \( + \infty \) B. \(\dfrac{1}{8}\)
C. -2 D. 1
Câu 12: Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\,(1)\) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong \(( - 2;1)\)
B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \((0;2)\)
C. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(( - 2;0)\)
D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(( - 1;1)\)
Câu 13: Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a{x^2} + 3x + 2a + 1}\\{1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} }\end{array}} \right.\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x < 0}\end{array}\)có giới hạn khi \(x \to 0\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. 1
Câu 14: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \( - \dfrac{1}{6}\) D. 1
Câu 15: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^3} - 8}}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \(\dfrac{1}{4}\) D. 0
Câu 16: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{3x - 9}}\) bằng?
A. \( - \dfrac{1}{3}\) B.
C. \(\dfrac{1}{3}\) D. Không tồn tại
Câu 17: Cho cấp số nhân \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}},\forall n \ge 1\). Khi đó:
A. S=1 B. \(s = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)
C. S=0 D. S=2
Câu 18: Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}-5x + 6}}\) . Hàm số liên tục trên khoảng nào sau đây?
A. \(( - \infty ;3)\) B. \((2;3)\)
C. \(( - 3;2)\) D. \(( - 3; + \infty )\)
Câu 19: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 2}\\{x = - 2}\end{array}.\) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(1) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = 0\)
(2) \(f(x)\)liên tục tại x = -2
(3) \(f(x)\) gián đoạn tại x = -2
A.Chỉ (1) và (3)
B. Chỉ (1) và (2)
C. Chỉ (1)
D. Chỉ (2)
Câu 20: Cho hàm số\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 1)}^2}\,\,}\\{{x^2} + 3\,\,}\\{{k^2}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{,x > 1}\\{,x < 1}\\{,x = 1}\end{array}\). Tìm k để \(f(x)\) gián đoạn tại x = 1
A. \(k \ne \pm 2\)
B. \(k \ne 2\)
C. \(k \ne - 2\)
D. \(k \ne \pm 1\)
Câu 21: Cho hàm số\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2\,\,\,,\,x > 1}\\{3{x^2} + x - 1\,\,\,\,\,,x \le 1}\end{array}} \right.\,\,\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục tại x = 1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại x = 1
D. Tất cả đều sai
Câu 22: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x} \right)\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \(\dfrac{{ - 1}}{2}\) D. \(0\)
Câu 23: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
(1) \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
(2) \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{x}\) có giới hạn khi \(x \to 0\)
(3)\(f(x) = \sqrt {9 - {x^2}} \) liên tục trên đoạn [-3;3]
A.Chỉ (1) và (2)
B. Chỉ (2) và (3)
C. Chỉ (2)
D. Chỉ (3)
Câu 24: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \(\dfrac{{ - 2}}{3}\) D. \(\dfrac{2}{3}\)
Câu 25: Giá trị đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^4} + 7}}{{{x^4} + 1}}\)là
A. \( + \infty \) B. -1
C. 1 D. 7
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| B | D | B | C | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | C | A | A | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | B | C | D | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| C | A | B | B | A |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| C | C | B | B | C |
Câu 1: Đáp án B
\(\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{n} = \lim \left( {\dfrac{1}{n} - n} \right) = - \infty \)
Câu 2: Đáp án D
\(\lim {u_n} = L \Rightarrow \lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\)
Câu 3: Đáp án B
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 2)\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^4}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}}}} \\= \sqrt {\dfrac{0}{1}} = 0\end{array}\)
Câu 4: Đáp án C
\(\lim \dfrac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{(3n - 1)}^2}}} \) \(= \lim \dfrac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{9{n^2} - 6n + 1}} \) \(= \lim \dfrac{{4 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{9 - \dfrac{6}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{4}{9}\)
Câu 5: Đáp án B
\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {(n - 1)\sqrt {\dfrac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} } \right) \\= \lim \sqrt {\dfrac{{\left( {2n + 2} \right){{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \\ = \lim \sqrt {\dfrac{{\left( {2n + 2} \right)\left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \\ = \lim \sqrt {\dfrac{{2{n^3} - 6{n^2} - 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \\= \lim \sqrt {\dfrac{{\dfrac{2}{n} - \dfrac{6}{{{n^2}}} - \dfrac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^4}}}}}} \\= \sqrt {\dfrac{0}{1}} = 0\end{array}\)
Câu 6: Đáp án A
\(\lim \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = \lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}\)
Do \(\lim \left( {1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 1 > 0\), \(\lim \left( {{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 0\)và \({\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^n} > 0\)nên
\(\lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}} = + \infty \)
Câu 7: Đáp án C
\(\begin{array}{l}\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) \\+ \lim \left( {n - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} \\+ \lim \dfrac{{{n^3} - {n^3} - 2{n^2}}}{{{n^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} \\+ \lim \dfrac{{ - 2{n^2}}}{{{n^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} \\+ \lim \dfrac{{ - 2}}{{1 + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{2}{n}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{2}{n}}}} \right)}^2}}}\\ = 1 + \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Câu 8: Đáp án A
\(\lim \left[ {\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}} \right]\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{2.5}} + ... + \dfrac{3}{{n(n + 3)}}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n}} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}} \right)\\ = \lim \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{18}}\end{array}\)
Câu 9: Đáp án A
Với là các hằng số và nguyên dương thì:
Câu 10: Đáp án B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{4{x^3} - 1}}{{3{x^2} + x + 2}} \) \(= \dfrac{{4.{{( - 2)}^2} - 1}}{{3.{{( - 2)}^2} + ( - 2) + 2}} = \dfrac{{ - 33}}{{12}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\)
Câu 11: Đáp án B
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 4} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}{{2x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 4 - 4}}{{2x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{2x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{2x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt 4 + 2} \right)}} = \dfrac{1}{8}\end{array}\)
Câu 12: Đáp án B
Câu 13: Đáp án C
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {5a{x^2} + 3x + 2a + 1} \right) \\= 2a + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right) \\= 1 + \sqrt 2 \end{array}\)
Để f(x) có giới hạn khi x\( \to \) 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\) hay \(2a + 1 = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Câu 14: Đáp án D
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 2x + 4}}\\ = \dfrac{{(2 + 2)({2^2} - 1)}}{{{2^2} + 2.2 + 4}} = 1\end{array}\)
Câu 15: Đáp án C
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^3} - 8}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}\\ = \dfrac{{2.2 - 1}}{{{2^2} + 2.2 + 4}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Câu 16: Đáp án C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{3x - 9}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{3x - 9}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{3\left( {x - 3} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\)
Câu 17: Đáp án A
Cho cấp số nhân \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}},\forall n \ge 1\).
Khi đó: \({u_1} = \dfrac{1}{2},q = \dfrac{1}{2} \) \(\Rightarrow S = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 1\)
Câu 18: Đáp án B
f(x) xác định khi \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\)hoặc \(x \ne - 3\)
Suy ra hàm số liên tục trên khoảng (2;3)
Câu 19: Đáp án B
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{2x + 4}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{2(x + 2)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {2x + 8} + 2}} = 0\end{array}\)
Câu 20: Đáp án A
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 3} \right) = 4\end{array}\)
Để f(x) gián đoạn tại x = 1 thì \({k^2} \ne 4 \Leftrightarrow k \ne \pm 2\)
Câu 21: Đáp án C
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x - 1} }} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \left( {x + 2} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2\\ = 0 + 2 = 2\end{array}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + x - 1} \right) = 3 + 1 - 1 = 3\)
\(f(1) = {3.1^2} + 1 - 1 = 3\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)\)nên hàm số gián đoạn tại x=1
Câu 22: Đáp án C
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} - x + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\dfrac{1}{x} - 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array}\)
Câu 23: Đáp án B
f(x) có tập xác định \(D = R\backslash \left\{ { \pm 1} \right\} \Rightarrow \)(1) sai
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1 \Rightarrow \)(2) đúng
f(x) có tập xác định \(D = \left[ { - 3;3} \right] \Rightarrow \)liên tục trên \(\left[ { - 3;3} \right]\)\( \Rightarrow \)(3) sai
Câu 24: Đáp án B
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ - {x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {x^2} - x} \right) = - 2\end{array}\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ - {x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = - \infty \)
Câu 25: Đáp án C
