Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy cho điểm A(−1;3)A(−1;3) và đường thẳng dd có phương trình x−2y+3=0x−2y+3=0. Tìm ảnh của AA và dd qua phép đối xứng tâm OO.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi A′ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, khi đó O là trung điểm của AA′ ⇒{xA′=2xO−xAyA′=2yO−yA
Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
Cách 1:
Bước 1: Lấy hai điểm B,C bất kì thuộc đường thẳng d.
Bước 2: Xác định ảnh B′;C′ của B;C qua phép đối xứng tâm O.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng B′C′; khi đó B′C′ chính là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
Cách 2:
Bước 1: Ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng song song với d, suy ra dạng phương trình đường thẳng d′.
Bước 2: Lấy một điểm B bất kì thuộc d, tìm ảnh B′ của điểm B qua phép đối xứng tâm O.
Bước 3: Thay tọa độ điểm B′ vào phương trình đường thẳng d′ và suy ra phương trình đường thẳng d′.
Lời giải chi tiết
Gọi A′ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, khi đó O là trung điểm của AA′
⇔{xO=xA+xA′2yO=yA+yA′2
⇒{xA′=2xO−xAyA′=2yO−yA
⇔{xA′=2.0−(−1)=1yA′=2.0−3=−3
⇒A′(1;−3)
Để tìm ảnh của đường thẳng d ta có thể dùng các cách sau:
Cách 1:
+) Lấy 2 điểm bất kì thuộc d.
(Bằng cách chọn giá trị cho x (hoặc y) rồi thay vào phương trình của d, suy ra giá trị của y (hay x). )
Chọn y=0 ta có: x−2.0+3=0⇒x=−3⇒B(−3;0)∈d
Chọn x=−1 ta có: −1−2y+3=0⇒y=1⇒C(−1;1)∈d.
Do đó, đường thẳng d đi qua B(−3;0) và C(−1;1).
+) Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm O:
B′=DO(B)=(3;0) và C′=DO(C)=(1;−1).
Đường thẳng B′C′ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.
→B′C′=(2;1)⇒→nB′C′=(1;−2) là VTPT của B′C′.
+) Phương trìnhB′C′ đi qua B′(3;0), có VTPT→nB′C′=(1;−2) là:
1(x−3)−2(y−0)=0 hay x−2y−3=0.
Cách 2:
Đường thẳng d đi qua B(−3;0)
Do O không thuộc d nên gọi d′ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O thì nó song song với d.
Do đó d′ có phương trình x−2y+C=0 (C≠3).
Gọi B′ là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O ta có: B′=(3;0)
Vì B′∈(d′)⇒3+C=0⇒C=−3 (tm).
Vậy ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng d′ có phương trình x−2y−3=0
