Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x-2y + 3 = 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AA'\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\)
Tìm ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)
Cách 1:
Bước 1: Lấy hai điểm \(B, C\) bất kì thuộc đường thẳng \(d.\)
Bước 2: Xác định ảnh \(B'; C'\) của \(B;C\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng \(B'C'\); khi đó \(B'C'\) chính là ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)
Cách 2:
Bước 1: Ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng song song với \(d,\) suy ra dạng phương trình đường thẳng \(d'.\)
Bước 2: Lấy một điểm \(B\) bất kì thuộc \(d,\) tìm ảnh \(B'\) của điểm \(B\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)
Bước 3: Thay tọa độ điểm \(B'\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) và suy ra phương trình đường thẳng \(d'.\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AA'\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\
{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right) = 1\\
{y_{A'}} = 2.0 - 3 = - 3
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)\)
Để tìm ảnh của đường thẳng \(d\) ta có thể dùng các cách sau:
Cách 1:
+) Lấy 2 điểm bất kì thuộc \(d.\)
(Bằng cách chọn giá trị cho \(x\) (hoặc \(y\)) rồi thay vào phương trình của \(d\), suy ra giá trị của \(y\) (hay \(x)\). )
Chọn \(y=0\) ta có: \(x-2.0+3=0 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow B(-3;0) \in d\)
Chọn \(x=-1\) ta có: \(-1-2y+3=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow C (-1;1) \in d\).
Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\) và \(C (-1;1)\).
+) Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm \(O\):
\(B' = {D_{O}}(B) = (3;0)\) và \(C' = {D_{O}}(C) = (1;-1)\).
Đường thẳng \(B'C'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)
\(\overrightarrow {B'C'} = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{B'C'}}} = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT của \(B'C'.\)
+) Phương trình\(B'C'\) đi qua \(B'(3;0)\), có \(VTPT \, \overrightarrow {{n_{B'C'}}} = \left( {1; - 2} \right)\) là:
\(1(x-3)-2(y-0)=0\) hay \(x-2y-3=0.\)
Cách 2:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\)
Do \(O\) không thuộc \(d\) nên gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) thì nó song song với \(d\).
Do đó \(d'\) có phương trình \(x- 2y +C =0\) \(\left( {C \ne 3} \right)\).
Gọi \(B'\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng tâm \(O\) ta có: \(B' =( 3;0)\)
Vì \(B' \in (d') \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3\) (tm).
Vậy ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng \(d'\) có phương trình \(x-2y-3=0\)
