Video hướng dẫn giải
Dãy số unun cho bởi: u1=3u1=3; un+1un+1= √1+u2n√1+u2n,n≥1n≥1.
LG a
Viết năm số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải:
Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính unun lần lượt tại n=1;2;3;4n=1;2;3;4.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
u2=√1+u21=√1+32=√10u2=√1+u21=√1+32=√10
u3=√1+u22=√1+(√10)2=√11u3=√1+u22=√1+(√10)2=√11
u4=√1+u23=√1+(√11)2=√12u4=√1+u23=√1+(√11)2=√12
u5=√1+u24=√1+(√12)2=√13u5=√1+u24=√1+(√12)2=√13
Năm số hạng đầu của dãy số là u1=3;u2=√10;u3=√11;u1=3;u2=√10;u3=√11; u4=√12;u5=√13u4=√12;u5=√13
LG b
Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải:
Dựa vào các giá trị u1;u2;u3;u4;u5u1;u2;u3;u4;u5 dự đoán công thức tổng unun.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n=1n=1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k≥1n=k≥1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1n=k+1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
u1=3=√9=√1+8u1=3=√9=√1+8
u2=√10=√2+8u2=√10=√2+8
u3=√11=√3+8
u4=√12=√4+8
u5=√13=√5+8
...........
Từ trên ta dự đoán un=√n+8, với n∈N∗ (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với n=1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với n=k≥1, tức là có uk=√k+8 với k≥1, ta cần chứng minh uk+1=√(k+1)+8
Theo công thức dãy số, ta có:
uk+1=√1+u2k =√1+(√k+8)2
=√1+k+8 =√(k+1)+8.
Như vậy công thức (1) đúng với n=k+1.
Vậy công thức (1) được chứng minh.
