Đề bài
Tính tổng số các hạt thóc ở \(11\) ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhân cả tổng \(S\) cần tính với \(2\) rồi lấy \(2S-S\), thu gọn ta được kết quả.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = 2\\
{u_3} = {2^2}\\
...\\
{u_{11}} = {2^{10}}
\end{array}\)
\( \Rightarrow S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\) \( = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{10}}\)
\( \Rightarrow 2S = 2 + {2^2} + ... + {2^{10}} + {2^{11}}\)
\( \Rightarrow 2S - S = \left( {2 + {2^2} + ... + {2^{10}} + {2^{11}}} \right) \) \(- \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{10}}} \right)\)
\( \Rightarrow S = {2^{11}} - 1 = 2047\)
Cách tổng quát:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{S{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}{u_3}\; + {\rm{ }}{u_4}\; + {\rm{ }}{u_5}\; + {\rm{ }}{u_6}\; + {\rm{ }}{u_7}\; + {\rm{ }}{u_8}\; + {\rm{ }}{u_9}\; + {\rm{ }}{u_{10}}\; + {\rm{ }}{u_{11}}}\\
{ = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}.q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}.{q^2}\; + \cdots + {\rm{ }}{u_1}.{q^9}\; + {\rm{ }}{u_1}.{q^{10}}\;\left( 1 \right)}\\
{ \Rightarrow \;S.q{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}.q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}.{q^2}\; + \cdots + {\rm{ }}{u_1}.{q^9}\; + {\rm{ }}{u_1}.{q^{10}}\; + {\rm{ }}{u_1}.{q^{11}}\;\left( 2 \right)}
\end{array}\)
Lấy (1) trừ (2), ta được:
\(\left( {1 - q} \right)S = {u_1}\left( {1 - {q^{11}}} \right) \)
\(\Rightarrow S = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{11}}} \right)}}{{1 - q}}\)
Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là \(S = \frac{{1\left( {1 - {2^{11}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{11}} - 1 = 2047\)
