Đề bài
Cho tứ diện SABCSABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SMSB=SNSC. Chứng minh rằng:
a) BC⊥(SAB) và AM⊥(SBC);
b) SB⊥AN.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kết quả của định lí:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
b) Chứng minh SB⊥(AMN).
Lời giải chi tiết
a) SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC (1),
Tam giác ABC vuông tại B nên BC⊥AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SAB).
BC⊥(SAB) nên BC⊥AM (3)
AM⊥SB (giả thiết) (4)
Từ (3) và (4) suy ra AM⊥(SBC).
b) AM⊥(SBC) nên AM⊥SB (5)
SMSB=SNSC nên theo định lí ta lét ta có: MN//BC
BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB
Ta có:
{BC⊥SBBC//MN⇒MN⊥SB (6)
Từ (5) và (6) suy ra SB⊥(AMN) suy ra SB⊥AN
Nhận xét: Hình chóp trong các bài 4; 6; 7 thuộc loại hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (do đó nó có hai mặt bên vuông góc với đáy).
