Đề bài
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm):
Câu 1. \(\lim \left( {2n + 3} \right)\) bằng
A. \( + \infty .\) B. \(3.\)
C. \(5.\) D. \( - \infty .\)
Câu 2. Biết \(\lim \frac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \frac{a}{b}\) ( a, b là hai số tự nhiên và \(\frac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng
A. \(3.\) B. \(\frac{1}{3}.\)
C. \(0.\) D. \(4.\)
Câu 3. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} - 2x - 3)\) bằng
A. \( - 5.\) B. \(0.\)
C. \(4.\) D. \( - 4.\)
Câu 4. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{1 - 2x}} = - \frac{a}{b}\) ( a, b là hai số tự nhiên và \(\frac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a - b\) bằng
A. \(3.\) B. \( - 1.\)
C. \( - 3.\) D. \(1.\)
Câu 5: \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 2n + 4}}\) bằng
A. \(2.\) B. \(1.\)
C. \(0.\) D. \( + \infty .\)
Câu 6. Biết rằng phương trình \({x^5} + {x^3} + 3x - 1 = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0},\) mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \({x_0} \in \left( {0;1} \right).\)
B. \({x_0} \in \left( { - 1;0} \right).\)
C. \({x_0} \in \left( {1;2} \right).\)
D. \({x_0} \in \left( { - 2; - 1} \right).\)
Câu 7. Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 2.\) Giá trị của \(y'\left( 1 \right)\) bằng
A. \(7.\) B. \(4.\)
C. \(2.\) D. \(0.\)
Câu 8. Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) bằng
A. \(y' = \cos 2x.\)
B. \(y' = 2\cos 2x.\)
C. \(y' = - 2\cos 2x.\)
D. \(y' = - \cos 2x.\)
Câu 9. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
A. \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
B. \(y' = 1.\)
C. \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
D. \(y' = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}.\)
Câu 10. Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) bằng
A. \(y' = \sqrt {2x} .\)
B. \(y' = \frac{x}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
C. \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
D. \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Câu 11. Biết \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(I\) thỏa mãn \(IA = 3IB,\) mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \(4d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 3d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
B. \(3d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
C. \(3d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 4d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
D. \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 3d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \({90^{\rm{o}}}.\)
B. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.
C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \({90^{\rm{o}}}.\)
D. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
B. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm):
Câu 1 (1 điểm). Tính các giới hạn sau:
a.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} \right);\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}.\)
Câu 2 (1 điểm). Tính đạo hàm cấp 1 của mỗi hàm số sau:
a. \(y = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right);\)
b. \(y = {\cot ^2}\frac{2}{x} + \tan \frac{{x + 1}}{2}.\)
Câu 3 (1 điểm). Tìm giá trị của tham số a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \({x_0} = 1.\)
Câu 4 (1 điểm). Cho hàm số\(f\left( x \right) = \cos 2x.\) Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = \frac{\pi }{6}.\)
Câu 5 (3 điểm). Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh\(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SD\)với mặt đáy bằng \({45^{\rm{o}}}.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(SA,SC,SD\) sao cho \(SM = MA,\)\(SN = 2NC\) và \(SP = 2PD.\)
a. Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot BD;\)\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).\)
b. Chứng minh rằng \(AP \bot NP.\)
c. Tính côsin của góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {BNP} \right).\)
Lời giải chi tiết
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM:
| 1. A | 2. D | 3. D | 4. B | 5. C | 6. A |
| 7. C | 8. B | 9. A | 10. D | 11. D | 12. B |
Câu 1:
Cách giải:
\(\lim \left( {2n + 3} \right) = + \infty \)
Chọn A.
Câu 2:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \({3^{n + 1}}\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\lim \frac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{3^{n + 1}}}} + \frac{1}{3}}}{1} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1 + 3 = 4\end{array}\)\(\)
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\)\( = {1^2} - 2.1 - 3 = - 4\)
Chọn D.
Câu 4:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \(x\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{1 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\frac{1}{x} - 2}} = - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a - b = - 1\end{array}\).
Chọn B.
Câu 5:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\).
Cách giải:
\(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 2n + 4}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}} = 0\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và có \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Cách giải:
Hàm số \(y = {x^5} + {x^3} + 3x - 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\left( {0;1} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = - 1\\f\left( 1 \right) = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) < 0\)
\( \Rightarrow \) Tồn tại ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {0;1} \right)\).
Chọn A.
Câu 7:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\).
Cách giải:
\(y' = 3{x^2} - 4x + 3\)
\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 4.1 + 3 = 2\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx\).
Cách giải:
\(y' = \left( {\sin 2x} \right)' = 2\cos 2x\).
Chọn B.
Câu 9:
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
Cách giải:
Ta có: \(y' = \frac{{x - 1 - \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Chọn A.
Chú ý: Có thể sử dụng công thức tính nhanh \(\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\).
Câu 10:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).
Cách giải:
\(\begin{array}{l}y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Chọn D.
Chú ý: Chú ý khi tính đạo hàm của hàm hợp.
Câu 11:
Phương pháp:
Cho \(\left( P \right)\) và \(A,B \notin \left( P \right)\). Gọi \(M = AB \cap \left( P \right)\) ta có: \(\frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{AM}}{{BM}}\).
Cách giải:
Ta có: \(AB \cap \left( \alpha \right) = I\) và \(\frac{{AI}}{{BI}} = 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)}} = \frac{{AI}}{{BI}} = 3\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( \alpha \right)} \right) = 3d\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)\end{array}\)
Chọn D.
Câu 12:
Phương pháp:
Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
Cách giải:
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó là mệnh đề sai.
Chọn B.
B. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm):
Câu 1:
Phương pháp:
a) Đặt \({x^3}\) ra ngoài và xét dấu.
b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để khử dạng \(\frac{0}{0}\).
Cách giải:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)\) \( = - \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 1 > 0\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 1 - 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{4}\end{array}\)
Câu 2:
Phương pháp:
a) Sử dụng quy tắc \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).
b) Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm lượng giác.
Cách giải:
a)
\(\begin{array}{l}y = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\\ \Rightarrow y' = \left( {x + 2\sqrt x } \right)'\left( {{x^2} + 4} \right)\\ + \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right)'\\ = \left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + 2x\left( {x + 2\sqrt x } \right)\\ = 3{x^2} + 5x\sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }} + 4.\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}y = {\cot ^2}\frac{2}{x} + \tan \frac{{x + 1}}{2}\\ \Rightarrow y' = 2.\cot \frac{2}{x}\left( {\cot \frac{2}{x}} \right)' + \frac{{\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\frac{{x + 1}}{2}}}\\ = 2.\cot \frac{2}{x}\frac{{ - \left( {\frac{2}{x}} \right)'}}{{{{\sin }^2}\frac{2}{x}}} + \frac{1}{{2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{x + 1}}{2}}}\\ = 4\cot \frac{2}{x}.\frac{1}{{{x^2}{{\sin }^2}\frac{2}{x}}} + \frac{1}{{2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{x + 1}}{2}}}.\end{array}\)
Câu 3:
Phương pháp:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 5} \right) = 6\\f\left( 1 \right) = 2 + a\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 2 + a = 6 \Leftrightarrow a = 4\)
Câu 4:
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 2\sin 2x\\f''\left( x \right) = - {2^2}\cos 2x\\f'''\left( x \right) = {2^3}\sin 2x\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {2^4}\cos 2x\\{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = - {2^5}\sin 2x\\{f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = - {2^6}\cos 2x\\{f^{\left( 7 \right)}}\left( x \right) = {2^7}\sin 2x\\{f^{\left( 8 \right)}}\left( x \right) = {2^8}\cos 2x\\....\end{array}\)
Nên:
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k} \right)}} = {2^{4k}}c{\rm{os}}2x\\{f^{\left( {4k + 1} \right)}} = - {2^{4k + 1}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}} = - {2^{4k + 2}}c{\rm{os}}2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}} = {2^{4k + 3}}\sin 2x\end{array}\).
Do đó (C) là đồ thị hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( {4.12 + 2} \right)}} = - {2^{50}}{\rm{cos}}2x.\)
Ta có: \(y' = {f^{\left( {51} \right)}}\left( x \right) = {2^{51}}\sin 2x.\)
Tiếp tuyến tại điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) có phương trình:
\(\begin{array}{l}y = y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + y\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow y = {2^{51}}\sin \frac{\pi }{3}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}c{\rm{os}}\frac{\pi }{3}\\y = {2^{51}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{50}}.\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow y = {2^{50}}\sqrt 3 \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - {2^{49}}\\ \Leftrightarrow y = {2^{50}}.\sqrt 3 x - \frac{{{2^{50}}\sqrt 3 \pi }}{6} - {2^{49}}\end{array}\)
Câu 5:
Phương pháp:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
b) Chứng minh \(NP\) vuông góc với mặt phẳng chứa \(AP\).
c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)\\\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right).\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{SN}}{{NC}} = \frac{{SP}}{{PD}} = 2 \Rightarrow NP//CD\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\\ \Rightarrow CD \bot AP\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AP \bot NP.\)
c) Ta có: \(\left( {BNP} \right) \equiv \left( {ABNP} \right)\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(E = MC \cap AN\). Trong \(\left( {SAD} \right)\) gọi \(F = MD \cap AP\).
\( \Rightarrow \left( {ABNP} \right) \cap \left( {MCD} \right) = EF\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABNP} \right) \supset AB\\\left( {MCD} \right) \supset CD\\AB//CD\\\left( {ABNP} \right) \cap \left( {MCD} \right) = EF\end{array} \right.\\ \Rightarrow EF//AB//CD\end{array}\)
Mà \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow EF \bot \left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF \bot AF\\EF \bot DF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABNP} \right);\left( {MCD} \right)} \right) = \angle \left( {AF;DF} \right)\)
Ta có \(\angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {SD;AD} \right) = \angle SDA = {40^0}\)
\( \Rightarrow \Delta SAD\) vuông cân tại \(A\).
\( \Rightarrow SA = AD = a,\,\,SD = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow AM = \frac{a}{2} \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(APD\) ta có:
\(\cos {45^0} = \frac{{{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2} - A{P^2}}}{{2.a.\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}\) \( \Leftrightarrow A{P^2} = \frac{{5{a^2}}}{9} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SMD\) ta có :
\(\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{AS}}.\frac{{PS}}{{PD}}.\frac{{FD}}{{FM}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{{FD}}{{FM}} = 1\\ \Leftrightarrow FD = FM\\ \Rightarrow FD = \frac{1}{2}MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\end{array}\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SAP\) ta có : \(\frac{{MA}}{{MS}}.\frac{{DS}}{{DP}}.\frac{{FP}}{{FA}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 1.3.\frac{{FP}}{{FA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{FP}}{{FA}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow AF = \frac{3}{4}AP = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AFD\) ta có:
\(\cos \angle AFD = \frac{{A{F^2} + D{F^2} - A{D^2}}}{{2AF.DF}}\)
\( = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{{16}} + \frac{{5{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{2.\frac{{5{a^2}}}{{16}}}} = - \frac{3}{5}\)
Vậy \(\cos \angle \left( {\left( {MCD} \right);\left( {BNP} \right)} \right) = \frac{3}{5}\).
