Đề bài
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,2,4,6,8:
A. 60 B. 40
C .48 D. 10
Câu 2: Giá trị của \(n \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3\) là:
A. 6 B. 14
D. 15 D. 17
Câu 3: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là:
A. \(\dfrac{4}{{16}}\) B. \(\dfrac{2}{{16}}\)
C. \(\dfrac{1}{{16}}\) D. \(\dfrac{6}{{16}}\)
Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau:
A. 242 B. 240
C. 244 D. 248
Câu 5: Trong khai triển \({\left( {{a^2} + \dfrac{1}{b}} \right)^7}\) số hạng thứ 5 là:
A. \(35{a^6}.{b^{ - 4}}\) B. \( - 35{a^6}.{b^{ - 4}}\)
C. \(35{a^4}.{b^{ - 5}}\) D. \( - 35{a^4}.{b^{}}\)
Câu 6: Có tất cả 120 cách chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh. Số n là nghiệm của phương trình nào sau đây:
A. \(n(n + 1)(n + 2) = 120\)
C. \(n(n - 1)(n - 2) = 120\)
B. \(n(n + 1)(n + 2) = 720\)
D. \(n(n - 1)(n - 2) = 720\)
Câu 7: Cho hai biến số A và B có \(P(A) = \dfrac{1}{3}\,,P(B) = \dfrac{1}{4}\,,\,P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}\). Ta kết luận hai biến cố A và B là:
A. Độc lập B. Không xung khắc
C. Xung khắc D. Không rõ
Câu 8: Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để được 3 quả cầu toàn màu xanh là:
A. \(\dfrac{1}{{20}}\) B. \(\dfrac{1}{{30}}\)
C. \(\dfrac{1}{{15}}\) D. \(\dfrac{3}{{10}}\)
Câu 9: Một thầy giáo có 5 cuốn sách toán, 6 cuốn sách văn, 7 cuốn sách Anh văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học sinh. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu thầy giáo chỉ muốn tặng một hoặc hai thể loại:
A. 2233440 B. 2573422
C. 2536374 D. 2631570
Câu 10: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách:
A. 46 B. 69
C. 48 D. 40
Câu 11: Từ tập \(A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}.\)ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau :
A. 720 B. 261
C. 235 D. 679
Câu 12: Một lớp có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong ban cán sự có cả nam và nữ.
A. 11440 B. 11242
C. 24141 D. 53342
Câu 13: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
A. 8 B. 7
C. 6 D. 5
Câu 14: Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
A. 182 B. 180
C. 190 D. 192
Câu 15: Giải bất phương trình ( ẩn n thuộc tập số tự nhiên ) \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2\)
A. \(n \ge 2\) B. \(n \ge 3\)
C. \(n \ge 5\) D. \(n \ge 4\)
Câu 16: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự trong đó có ít nhất một học sinh nữ:
A. 6090 B. 6042
C. 5494 D. 7614
Câu 17: Tìm hệ số của \({x^7}\)trong khai triển biểu thức sau: \(h(x) = x{(2 + 3x)^9}\):
A. 489889 B. 489887
C. -489888 D. 489888
Câu 18: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {\dfrac{{{x^{}}}}{3} - \dfrac{3}{x}} \right)^{12}}\)
A. \(\dfrac{{55}}{9}\) B. \(\dfrac{{13}}{2}\)
C. \(\dfrac{{621}}{{113}}\) D. \(\dfrac{{1412}}{{3123}}\)
Câu 19: Một tổ học sinh có 7 nam, 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ:
A. \(\dfrac{1}{{15}}\) B. \(\dfrac{7}{{15}}\)
C. \(\dfrac{8}{{15}}\) D. \(\dfrac{1}{5}\)
Câu 20: Một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng?
A. \(\dfrac{1}{{21}}\) B. \(\dfrac{1}{{210}}\)
C. \(\dfrac{{209}}{{210}}\) D. \(\dfrac{8}{{105}}\)
Câu 21: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác xuất để được lá át (A) là:
A. \(\dfrac{2}{{13}}\) B. \(\dfrac{1}{{169}}\)
C. \(\dfrac{1}{{13}}\) D. \(\dfrac{3}{4}\)
Câu 22: Một bình đựng 12 quả cầu được đánh số từ 1 đến 12. Chọn ngẫu nhiên bốn quả cầu. Xác suất để 4 quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8.
A. \(\dfrac{{56}}{{99}}\) B. \(\dfrac{7}{{99}}\)
C. \(\dfrac{{14}}{{99}}\) D. \(\dfrac{{28}}{{99}}\)
Câu 23: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau ). Người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
A. 13 B. 36
C. 23 D. 39
Câu 24: Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là:
A. \(\dfrac{5}{{36}}\) B. \(\dfrac{1}{6}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\) D. 1
Câu 25: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau?
A. 32 B. 30
C. 35 D. 70
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | D | C | B | A |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | B | B | A | A |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| A | A | B | B | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | D | A | B | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| C | C | A | B | A |
Câu 1. Một số gồm 3 chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số A={0; 2; 4; 6; 8} có dạng:
\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,3} \)và \({a_i} \ne {a_j},i \ne j.\)
Do \({a_1} \ne 0\)- có \(C_4^1 = 4\) cách chọn.
Khi đó 2 số \({a_{1,}}{a_2}\) được lấy từ 4 số còn lai sắp theo thứ tự nên có \(A_4^2 = 12\) cách.
Số cách chọn là \(4.12 = 48\)
Chọn C.
Câu 2. Ta có
\(\begin{array}{l}C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 \\\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 8} \right)!}}{{\left( {n + 3} \right)!.5!}} = 5.\dfrac{{\left( {n + 6} \right)!}}{{\left( {n + 3} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \left( {n + 7} \right)\left( {n + 8} \right) = 5!.5\\ \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \\\Leftrightarrow n = 17(n > 0)\end{array}\)
Chọn D.
Câu 3. Số phần tử của không gian mẫu là: \(\left| \Omega \right| = {2^4} = 16\)
Gọi A là biến cố: “cả 4 lần đều xuất hiện mặt sấp”
Ta có: \({P_A} = \dfrac{1}{{16}}\)
Chọn C.
Câu 4. Số cách sắp xếp của A, F: 2! = 2
Coi A và F được sắp xếp cùng 1 chỗ.
Số cách sắp xếp A, B, C, D, E: 5! = 120
Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2.120 = 240
Chọn B.
Câu 5. Số hạng thứ 5 \(C_7^3{\left( {{a^2}} \right)^3}.{\left( {\dfrac{1}{b}} \right)^4} = 35{a^6}.{b^{ - 4}}\)
Chọn A.
Câu 6.
Số cách chọn 2 học sinh từ nhóm n học sinh là:
\(C_n^1.C_n^2.C_n^3\)\( = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}}.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}.\dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} \)\(= \dfrac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\)
Theo bài ra ta có 120 cách lựa chọn nên:
\(\dfrac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 120\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 720\)
Chọn D.
Câu 7. Ta có \(P(A) + P(B) = \dfrac{1}{{12}}\, \ne P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}\)
Chọn B.
Câu 8. Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3 = 120\)
Gọi A là: “3 quả cầu toàn màu xanh”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_4^3 = 4\)
Suy ra \(P\left( A \right) = \dfrac{4}{{120}} = \dfrac{1}{{30}}\)
Chọn B.
Câu 9. Có \(C_{13}^6 = 1716\) cách chọn để không có cuốn sách toán nào.
Có \(C_{12}^6 = 924\) cách chọn để không có cuốn sách văn nào.
Có \(C_{11}^6 = 462\) cách chọn để không có cuốn sách anh nào.
Do 6 học sinh là khác nhau nên có 6! cách tặng.
Vậy có 6!.(1716 + 924 + 462) = 2233440.
Chọn A.
Câu 10. Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_8^3 = 56\)
Gọi A là: “3 người được chọn có ít nhất 1 nữ”.
Gọi \(\overline A \) là: “3 người được chọn không có nữ”. Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = C_5^3 = 10\)
Suy ra \(n\left( A \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( {\overline A } \right) = 56 - 10 = 46\)
Chọn A.
Câu 11. Một số gồm 4 chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có dạng:
\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,4} \)và \({a_i} \ne {a_j},i \ne j.\)
Do \({a_1} \ne 0\)- có \(C_6^1 = 6\) cách chọn.
Khi đó 2 số \({a_2},{a_3},{a_4}\) được lấy từ 6 số còn lai sắp theo thứ tự nên có \(A_6^3 = 120\) cách.
Số cách chọn là \(6.120 = 720\)
Chọn A.
Câu 12. TH1: có 1 nữ và 2 nam, số cách chọn là: \(C_{26}^1.C_{20}^2 = 4940\)
TH2: có 2 nữ và 1 nam, số cách chọn là: \(C_{26}^2.C_{20}^1 = 6500\)
Vậy có cách chọn thỏa mãn. 4940 + 6500 = 11440
Chọn A.
Câu 13. Đa giác đều có n cạnh nên ta có n đỉnh.
Một đường chéo được tạo ra từ 2 đỉnh không liền kề. Số đường chéo được tạo ra là: \(C_n^1.C_{n - 3}^1.\)
Mà số cạnh được lặp lại 2 lần nên ta có số đường chéo là: \(\dfrac{1}{2}.C_n^1.C_{n - 3}^1.\)
Theo đề bài ta có \(\begin{array}{c}\dfrac{1}{2}.C_n^1.C_{n - 3}^1 = 2n \Leftrightarrow n.n.\left( {n - 3} \right) = 4n\\ \Leftrightarrow {n^2} - 3n = 4 \Leftrightarrow n = 4(n > 0)\end{array}\)
Chọn B.
Câu 14. Một số gồm 4 chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số A={1; 2; 3; 4; 5; 6} có dạng:
\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,4} \)và \({a_i} \ne {a_j},i \ne j.\)
Do \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \) là chẵn nên \({a_4} \in \left\{ {2;4;6} \right\}\) - có \(C_3^1 = 3\) cách chọn.
Khi đó 3 số \({a_1},{a_2},{a_3}\) được lấy từ 6 số còn lai sắp theo thứ tự nên có \(A_5^3 = 60\) cách.
Số cách chọn là \(3.60 = 180\)
Chọn B.
Câu 15. Ta có
\(\begin{array}{l}C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.3!}} + \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{n!.2!}} > \dfrac{5}{2}.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)n}}{6} + \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{2} > \dfrac{5}{2}.n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {n^3} + 3{n^2} + 2n + 3{n^2} + 9n + 6 > 15{n^2} - 15\\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 11n + 21 > 0\\ \end{array}\)
Chọn A.
Câu 16. TH1: có 1 nữ và 2 nam, số cách chọn là: \(C_{20}^1.C_{15}^2 = 2100\)
TH2: có 2 nữ và 1 nam, số cách chọn là: \(C_{20}^2.C_{15}^1 = 2850\)
TH2: có 3 nữ: \(C_{20}^3 = 1140\)
Vậy có cách chọn thỏa mãn. 2100 + 2850 + 1140 = 6090
Chọn A.
Câu 17. Ta có
\(\begin{array}{l}h(x) = x{(2 + 3x)^9} \\= x\left[ {C_9^0{{.2}^9} + C_9^1{2^8}\left( {3x} \right) + ... + C_9^9{{\left( {3x} \right)}^9}} \right]\\ = C_9^0{.2^9}.x + C_9^1{2^8}.3{x^2} + ... + C_9^9{.3^9}.{x^{10}}\end{array}\)
Vậy hệ số của x7 trong khai triển trên là: \(C_9^6{2^3}{.3^6} = 489888\)
Chọn D.
Câu 18. Ta có
\({\left( {\dfrac{x}{3} - \dfrac{3}{x}} \right)^{12}}\)
\( = C_{12}^0{\left( {\dfrac{x}{3}} \right)^{12}} \)\(+ ... + C_6^4{\left( {\dfrac{x}{3}} \right)^8}{\left( {\dfrac{{ - 3}}{x}} \right)^4} \)\(+ ... + C_{12}^{12}{\left( {\dfrac{{ - 3}}{x}} \right)^{12}}\)
Vậy hệ số của x4 trong khai triển trên là: \(C_{12}^4\dfrac{1}{{{3^8}}}.{\left( { - 3} \right)^4} = \dfrac{{55}}{9}\)
Chọn A.
Câu 19. Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45\)
Gọi A là: “2 người có đúng 1 người là nữ”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_7^1.C_3^1 = 21\)
Suy ra \(P\left( A \right) = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}\)
Chọn B.
Câu 20. Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\)
Gọi A là biến cố: “có ít nhất một quả màu trắng”
Như vậy là \(\overline A \) biến cố: “cả 4 quả đều không có quả màu trắng”
Ta có: \(n\left( {{\Omega _{\overline A }}} \right) = 1\)
\(\Rightarrow {P_{\overline A }} = \dfrac{1}{{210}} \)
\(\Rightarrow {P_A} = 1 - {P_{\overline A }} = \dfrac{{209}}{{210}}\)
Chọn C.
Câu 21. Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^1 = 52.\)
Số cách rút để được lá át (A) là \(n\left( A \right) = C_4^1 = 4.\)
Xác suất cần có là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{4}{{52}} = \dfrac{1}{{13}}\)
Chọn C.
Câu 22. Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\)
Gọi A là: “4 quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_8^4 = 70\)
Suy ra \(P\left( A \right) = \dfrac{{70}}{{495}} = \dfrac{{14}}{{99}}\)
Chọn C.
Câu 23. Có 3 bông vàng, 3 bông đỏ, 1 bông trắng, có \(C_4^3.C_3^1 = 12\)
Có 3 bông vàng, 4 bông đỏ, có 1 cách chọn.
Vậy số cách chọn là: 12 + 1 = 13
Chọn A
Câu 24. Con súc sắc thứ nhất gieo ra mặt gì thì con súc sắc thứ hai phải gieo ra đúng mặt đó. Xác suất tung ra một mặt có sẵn là \(\dfrac{1}{6}\) nên xác suất cần tìm là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn B.
Câu 25. Coi cách chọn bạn nam C và bạn nữ D là 1 ghế, nên ta có 5 cách chọn.
Chọn thứ tự ngồi của 2 bạn là 2 cách.
Xếp 2 nam còn lại vào vị trí ta được 2! cách.
Xếp 2 nữ còn lại vào vị trí ta được 2! Cách.
Khi đó số cách xếp là: 5.2.(2!)2 = 40 (cách xếp)
Mặt khác ta có tổng số cách xếp sao chon am và nữ xen kẽ nhau là 2.3!.3! = 72.
Vậy số chắc xếp xen kẽ mà bạn C không ngồi với bạn D là: 72 – 40 = 32
Chọn A.
