Video hướng dẫn giải
Giải các phương trình
LG a
f′(x)=g(x) với f(x)=sin32x và g(x)=4cos2x–5sin4x
Phương pháp giải:
Tính f′(x), đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi: sin4x=2sin2xcos2x
Lời giải chi tiết:
Ta có: f(x)=sin32x
⇒f′(x)=3sin22x(sin2x)′=6sin22xcos2x
Do đó:
f′(x)=g(x)⇔6sin22xcos2x=4cos2x−5sin4x⇔6sin22xcos2x=4cos2x−10sin2xcos2x⇔cos2x(3sin22x+5sin2x−2)=0⇔[cos2x=0(1)3sin22x+5sin2x−2=0(2)
Giải (1): 2x=π2+kπ(k∈Z)⇔x=π4+kπ2(k∈Z)
Giải (2): ⇔[sin2x=−2(ktm)sin2x=13(tm)
sin2x=13⇔[2x=arcsin(13)+k2π2x=π−arcsin(13)+k2π⇔[x=12arcsin(13)+kπx=π2−12arcsin(12)+kπ;k∈Z
Tóm lại, phương trình đã cho có ba nghiệm là:
[x=π4+kπ2x=12arcsin(13)+kπx=π2−12arcsin(12)+kπ;k∈Z
LG b
f′(x)=0 với f(x)=20cos3x+12cos5x–15cos4x.
Phương pháp giải:
Tính f′(x)
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sina+sinb=2sina+b2cosa−b2
Đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f′(x)=20.(cos3x)′+12(cos5x)′−15(cos4x)′=20.(−3sin3x)+12.(−5sin5x)−15.(−4sin4x)=−60sin3x−60sin5x+60sin4x
Do đó:
f′(x)=0⇔−60sin3x−60sin5x+60sin4x=0−sin3x−sin5x+sin4x=0⇔sin5x+sin3x−sin4x=0⇔2sin4xcosx−sin4x=0⇔sin4x(2cosx−1)=0
⇔[sin4x=0cosx=12⇔[4x=kπx=±π3+k2π⇔[x=kπ4x=±π3+k2π;k∈Z
