Đề bài
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giải phương trình \({\tan ^2}3x - 1 = 0\).
A. \(x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
B. \(x = \pm \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \)
C. \(x = \pm \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\)
D. \(x = \pm \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\)
Câu 2: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \dfrac{{1 - 4\sin x}}{{\cos x}}\).
A. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu 3: Tính giá trị biểu thức \(P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0}\).
A. \(P = 0\) B. \(P = \dfrac{1}{2}\)
C. \(P = 1\) D. \(P = - 1\)
Câu 4: Giải phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x = - \sqrt 2 \).
A. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \)
B. \(x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi \)
C. \(x = - \dfrac{\pi }{8} + k\pi \)
D. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
Câu 5: Phương trình nào sau đây có nghiệm?
A. \(5\sin x - 2\cos x = 3\)
B. \(\sin x + \cos x = 2\)
C. \(\sin x - 4\cos x = - 5\)
D. \(\cos x + \sqrt 3 \sin x = 3\)
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = 7\cos 5x - 1\).
A. \(M = 7\) B. \(M = 5\)
C. \(M = 6\) D. M = 8
Câu 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. \(9 - \cot x = 0\)
B. \(2\tan x + 9 = 0\)
C. \(1 - 4\sin x = 0\)
D. \(5 + 4\cos x = 0\)
Câu 8: Giải phương trình \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\).
A. \(x = k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)
B. \(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \)
C. \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)
D. \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
Câu 9: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.
A. \(y = \sin x\) B. \(y = \cos x\)
C. \(y = \cot x\) D. \(y = \tan x\)
Câu 10: Giải phương trình \(2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0\).
A. \(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \)
B. \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
C. \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \)
D. \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)
Câu 11: Giải phương trình \(\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0}\).
A. \(x = {40^0} + k{180^0}\)
B. \(x = {40^0} + k{90^0}\)
C. \(x = {40^0} + k{45^0}\)
D. \(x = {80^0} + k{180^0}\)
Câu 12: Giải phương trình \(1 + \cos x = 0\).
A. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)
B. \(x = \pi + k2\pi \)
C. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
D. \(x = k2\pi \)
Câu 13: Giải phương trình \(\sin 6x - \cos 4x = 0\).
A. \(x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
B. \(x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\)
C. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{{2\pi }}{5}\)
D. \(x = k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{10}} + k\dfrac{\pi }{5}\)
Câu 14: Giải phương trình \(1 - 2\sin x = 0\).
A. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = -\dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
Câu 15: Cho phương trình \(\cos 4x = 3m - 5\). Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
A. \( - 1 \le m \le 1\) B. \(\dfrac{4}{3} \le m \le 2\)
C. \( - 2 \le m \le \dfrac{4}{3}\) D. \(\dfrac{4}{3} \le m \le 3\)
Câu 16: Cho phương trình \(2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m\) . Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
A. \( - \sqrt 3 \le m \le \sqrt 3 \)
B. \(m \le - \sqrt 3 ;\,\,m \ge \sqrt 3 \)
C. \( - \sqrt 5 \le m \le \sqrt 5 \)
D. \(m \le - \sqrt 5 ;\,\,m \ge \sqrt 5 \)
Câu 17: Giải phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin x\)
A. \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\)
D. \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{24}} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
Câu 18: Giải phương trình \({\rm{sin3}}x - \sin x = 0\).
A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)
D. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x + 9\).
A. \(m = \dfrac{{15}}{2}\) B. \(m = 5\)
C. \(m = - \dfrac{5}{2}\) D. \(m = - 5\)
Câu 20: Hàm số nào sau đây xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
A. \(y = 7 - 4\tan x\) B. \(y = \dfrac{7}{{{{\sin }^2}x}}\)
C. \(y = \dfrac{{\sin x + 1}}{{3 - \cos x}}\) D. \(y = \cot x\)
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21: Giải các phương trình sau
\(a) \, \sin 3x = \cos x\)
\(b) \, 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 2\)
Câu 22: Giải phương trình sau:
\(2\sin x + \cos x - \sin 2x - 1 = 0\)
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
| 1D | 2C | 3A | 4C | 5A |
| 6C | 7D | 8A | 9B | 10C |
| 11B | 12B | 13A | 14D | 15B |
| 16C | 17B | 18D | 19B | 20C |
Câu 1:
Ta có: \({\tan ^2}3x - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {\tan 3x - 1} \right)\left( {\tan 3x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\\tan 3x = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\3x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\\x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án D.
Câu 2:
Điều kiện xác định:\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án C.
Câu 3:
Ta có: \(P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0} \) \(= {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\)
Chọn đáp án A.
Câu 4:
Ta có: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x = - \sqrt 2 \) \(\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\) \( \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow 2x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{8} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án C.
Câu 5:
Xét phương trình \(5\sin x - 2\cos x = 3\) có: \({5^2} + {\left( { - 2} \right)^2} > {3^2}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(5\sin x - 2\cos x = 3\) có nghiệm.
Chọn đáp án A.
Câu 6:
Ta có: \(y = 7\cos 5x - 1\) \( \Rightarrow 7.\left( { - 1} \right) - 1 \le y \le 7.1 - 1\) \( \Leftrightarrow - 8 \le y \le 6\)
Chọn đáp án C.
Câu 7:
Ta có: \(5 + 4\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \dfrac{5}{4} < - 1\)
\( \Rightarrow \) phương trình \(5 + 4\cos x = 0\) vô nghiệm.
Chọn đáp án D.
Câu 8:
Ta có: \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\) \( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án A.
Câu 9:
Ta có: \(y = \cos x = \cos \left( { - x} \right) \Rightarrow \)\(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Chọn đáp án B.
Câu 10:
Ta có: \(2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 2(VN)\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án C.
Câu 11:
Ta có: \(\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0}\) \( \Leftrightarrow 2x = {80^0} + k{180^0} \) \(\Leftrightarrow x = {40^0} + k{90^0}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 12:
Ta có: \(1 + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \cos x = - 1 \) \(\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 13:
Ta có: \(\sin 6x - \cos 4x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 6x = \cos 4x\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {6x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos 4x\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - \dfrac{\pi }{2} = 4x + k2\pi \\6x - \dfrac{\pi }{2} = - 4x + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án A.
Câu 14:
Ta có: \(1 - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án D.
Câu 15:
Phương trình \(\cos 4x = 3m - 5\) có nghiệm khi và chỉ khi: \( - 1 \le 3m - 5 \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} \le m \le 2\)
Chọn đáp án B.
Câu 16:
Phương trình \(2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi: \({2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 5\)
\( \Leftrightarrow - \sqrt 5 \le m \le \sqrt 5 \).
Chọn đáp án C.
Câu 17:
Ta có: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin x \) \( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x} \right) = 2\sin x\) \(\Leftrightarrow 2\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 2\sin x\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin x\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \dfrac{\pi }{3} = x + k2\pi \\3x + \dfrac{\pi }{3} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 18:
Ta có: \({\rm{sin3}}x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin x\)
\(\left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn đáp án D.
Câu 19:
Ta có: \(y = {\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x + 9 \) \(= {\sin ^2}x - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 9\)
\( = 5{\sin ^2}x + 5\) \( = 5\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) \ge 5\left( {0 + 1} \right) = 5\)
Chọn đáp án B.
Câu 20:
Ta có: \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 3 - \cos x \in \left[ {2;4} \right]\)
\( \Rightarrow y = \dfrac{{\sin x + 1}}{{3 - \cos x}}\) luôn xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Chọn đáp án C.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 21:
\(a) \, \sin 3x = \cos x \) \(\Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\3x = \pi - \dfrac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
\(\begin{array}{l}b) 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 2 \\\Leftrightarrow 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \sqrt 3 \sin 2x = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{2} \\\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}\sin 2x - \sin \dfrac{\pi }{6}\cos 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2} \\\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
Câu 22:
\(\begin{array}{l}2\sin x + \cos x - \sin 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x - 2\sin x\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x(1 - \cos x) - (1 - \cos x) = 0 \\\Leftrightarrow (1 - \cos x)(2\sin x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \cos x = 0\\2\sin x - 1 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = k2\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\) \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
