Video hướng dẫn giải
Tính các giới hạn sau
LG a
\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}}\)
Phương pháp giải:
Hàm số xác định tại \(2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}\)
LG b
\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\)
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{x + 2} \over x} \cr & = {{ - 3 + 2} \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)
Chú ý:
Tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm \(x = {x_1},x = {x_2}\) thì ta có thể viết lại \(f\left( x \right)\) thành \(f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)
Áp dụng ta bấm máy thấy \({x^2} + 5x + 6=0\) có hai nghiệm \(x_1=-2,x_2=-3\) nên có thể phân tích:
\({x^2} + 5x + 6 \)\(= 1.\left[ {x - \left( { - 1} \right)} \right].\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right] \)\(= \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\)
LG c
\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)
Phương pháp giải:
Đánh giá giới hạn dạng \(\dfrac{L}{0}\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (2x - 5) =2.4-5= 3 > 0\)
và \(\left\{ \matrix{x - 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to 4^-} (x - 4) = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}} = - \infty \)
LG d
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1)\)
Phương pháp giải:
Đặt \(x^3\) làm nhân tử chung.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1) \)
\(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}( - 1 + {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}})\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0\) nên
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1) \)\( = - \infty \)
LG e
\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 3} \over {3x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(x\).
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 3} \over {3x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 + {3 \over x})} \over {x(3 - {1 \over x})}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {3 - {1 \over x}}} \cr & = \dfrac{{1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{3}{x}}}{{ - 3 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{x}}} \cr &= \dfrac{{1 + 0}}{{ - 3 - 0}}= {1 \over 3} \cr} \)
LG f
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} - x} \over {3x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(x\).
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} - x} \over {3x - 1}} \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)} - x}}{{3x - 1}}\cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{|x|\sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - x} \over {3x - 1}} \cr
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - x} \over {x(3 - {1 \over x})}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left[ { - \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} - 1} \right]}}{{x\left( {3 - \frac{1}{x}} \right)}}\cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - 1} \over {3 - {1 \over x}}} \cr &= \dfrac{{ - \sqrt {1 - 0 + 0} - 1}}{{3 - 0}}= {{ - 2} \over 3} \cr} \).
