Video hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;2)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x + y+ 1= 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\)
LG a
Qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow v = (2;1)\)
Phương pháp giải:
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \).
Ảnh của đường thẳng qua 1 phép tịnh tiến là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(A’, d’\) lần lượt là ảnh của \(A\) và \(d\) qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được \(A \in d\)
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} = 1 \hfill \cr {y_{A'}} = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)\)
Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \({T_{\overrightarrow v }} \)
\(\Rightarrow d'//d\) hoặc \(d'\) trùng \(d\)
\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(d’\) có dạng: \(3x + y + c = 0\)
\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A'\left( {1;3} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \) \(\Rightarrow 3 + 3 + c = 0 \).
\(\Leftrightarrow c = - 6\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d’\) là \(3x + y - 6 = 0\).
LG b
Qua phép đối xứng qua trục \(Oy\)
Phương pháp giải:
+) Phép đối xứng trục \(Oy\) biến điểm \(A\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - x;y} \right)\).
+) Tìm ảnh của đường thẳng \(d,\) ta lấy hai điểm \(A, B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d,\) tìm ảnh\(A'; B'\) của hai điểm \(A, B\) qua phép đối xứng trục \(Oy,\) khi đó ảnh của đường thẳng \(d\) chính là đường thẳng \(A'B'.\)
Lời giải chi tiết:
\({D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left( {1;2} \right)\)
Lấy điểm \(B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left( B \right) = B'\left( {0; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) \( \Rightarrow d' \equiv A'B' \)
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( { - 1; - 3} \right)\) nên \(A'B'\) nhận \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {3; - 1} \right)\) làm VTPT.
Mà \(A'B'\) đi qua \(B'(0;-1)\) nên phương trình đường thẳng \(d’\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\)
LG c
Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
Phương pháp giải:
+) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến \(A\left( {x;y} \right)\) thành \(A'\left( { - x;-y} \right)\).
+) Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng là 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Lời giải chi tiết:
\({D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)\)
Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \({D_{\left( O \right)}}\) và \(O\) không thuộc \(d\) nên \( \Rightarrow d'//d \)
\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(d’\) có dạng: \(3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)\)
\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0 \)
\(\Leftrightarrow c = - 1\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d’\) là \(3x + y - 1 = 0\).
LG d
Qua phép quay tâm \(O\) góc \( 90^{\circ}\)
Phương pháp giải:
Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^0\) là đường thẳng vuông góc với \(d.\)
Lời giải chi tiết:
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right) \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - {y_A} = - 2\\
y' = {x_A} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)\)
Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(d’\) có dạng: \(x - 3y + c = 0\).
\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( { - 2; - 1} \right) \)
\(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .\)
\(\Leftrightarrow c = - 1\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d’\) là \(x - 3y - 1 = 0\).
Cách khác:
Lấy \(A(-1;2)\) và \(B(0;-1)\) thuộc \(d\) và \(Q_{(O, 90^o})\) biến \(A\) thành \(A’(-2; -1)\) biến \(B\) thành \(B’(1; 0).\)
Mà \(A, B\) thuộc \(d\) nên \(A’, B’\) thuộc \(d’.\)
Vậy \(Q_{(O, 90^o})\) biến \(d\) thành \(d’\) qua hai điểm \(A’, B’\)
Do đó phương trình \(d’\) là phương trình \(A'B'.\)
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {1; - 3} \right)\) là VTPT của \(d'.\)
Mà \(d'\) đi qua \(B'(1;0)\) nên có phương trình:
\(1(x-1)-3(y-0)=0\) hay \(x-3y-1=0.\)
