Bài 2 trang 34 SGK Hình học 11

159 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(-1;2)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $3x + y+ 1= 0$ . Tìm ảnh của $A$ và $d$

LG a

Qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v = (2;1)$

Phương pháp giải:

${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v$ .

Ảnh của đường thẳng qua 1 phép tịnh tiến là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi $A’, d’$ lần lượt là ảnh của $A$ và $d$ qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được $A \in d$

${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v$ $\Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} = 1 \hfill \cr {y_{A'}} = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)$

Đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua ${T_{\overrightarrow v }}$

$\Rightarrow d'//d$ hoặc $d'$ trùng $d$

$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $d’$ có dạng: $3x + y + c = 0$

$A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A'\left( {1;3} \right)$ $\Rightarrow A' \in d'$ $\Rightarrow 3 + 3 + c = 0$ .

$\Leftrightarrow c = - 6\,\,\left( {tm} \right)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là $3x + y - 6 = 0$ .

LG b

Qua phép đối xứng qua trục $Oy$

Phương pháp giải:

+) Phép đối xứng trục $Oy$ biến điểm $A\left( {x;y} \right)$ thành điểm $A'\left( { - x;y} \right)$ .

+) Tìm ảnh của đường thẳng $d,$ ta lấy hai điểm $A, B$ bất kì thuộc đường thẳng $d,$ tìm ảnh $A'; B'$ của hai điểm $A, B$ qua phép đối xứng trục $Oy,$ khi đó ảnh của đường thẳng $d$ chính là đường thẳng $A'B'.$

Lời giải chi tiết:

${D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left( {1;2} \right)$

Lấy điểm $B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left( B \right) = B'\left( {0; - 1} \right)$ .

Đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Oy$ $\Rightarrow d' \equiv A'B'$

Ta có: $\overrightarrow {A'B'} = \left( { - 1; - 3} \right)$ nên $A'B'$ nhận $\overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {3; - 1} \right)$ làm VTPT.

Mà $A'B'$ đi qua $B'(0;-1)$ nên phương trình đường thẳng $d’$ là:

$3\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0$

LG c

Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ

Phương pháp giải:

+) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến $A\left( {x;y} \right)$ thành $A'\left( { - x;-y} \right)$ .

+) Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng là 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

${D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)$

Đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua ${D_{\left( O \right)}}$ và $O$ không thuộc $d$ nên $\Rightarrow d'//d$

$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $d’$ có dạng: $3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)$

$A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)$ $\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0$

$\Leftrightarrow c = - 1\,\,\left( {tm} \right)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là $3x + y - 1 = 0$ .

LG d

Qua phép quay tâm $O$ góc $90^{\circ}$

Phương pháp giải:

Ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $O$ góc $90^0$ là đường thẳng vuông góc với $d.$

Lời giải chi tiết:

${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = - {y_A} = - 2\\ y' = {x_A} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)$

Đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow$ phương trình đường thẳng $d’$ có dạng: $x - 3y + c = 0$ .

$A\left( { - 1;2} \right) \in d;$ ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( { - 2; - 1} \right)$

$\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .$

$\Leftrightarrow c = - 1$ .

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là $x - 3y - 1 = 0$ .

Cách khác:

Lấy $A(-1;2)$ và $B(0;-1)$ thuộc $d$ và $Q_{(O, 90^o})$ biến $A$ thành $A’(-2; -1)$ biến $B$ thành $B’(1; 0).$

Mà $A, B$ thuộc $d$ nên $A’, B’$ thuộc $d’.$

Vậy $Q_{(O, 90^o})$ biến $d$ thành $d’$ qua hai điểm $A’, B’$

Do đó phương trình $d’$ là phương trình $A'B'.$

Ta có: $\overrightarrow {A'B'} = \left( {3;1} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {1; - 3} \right)$ là VTPT của $d'.$

Mà $d'$ đi qua $B'(1;0)$ nên có phương trình:

$1(x-1)-3(y-0)=0$ hay $x-3y-1=0.$

SGK Toán lớp 11