Đề bài
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx+sin2x=cosx+2cos2x là:
A. π6 B. 2π3
C. π4 D. π3
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi sin2x=2sinxcosx.
Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
sinx+sin2x=cosx+2cos2x
⇔sinx+2sinxcosx=cosx+2cos2x
⇔sinx(1+2cosx)=cos(1+2cosx)
⇔(1+2cosx)(sinx–cosx)=0
⇔[1+2cosx=0sinx−cosx=0⇔[cosx=−12tanx=1
⇔[x=±2π3+k2πx=π4+kπ(k∈Z)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : x=2π3+k2π⇒x=2π3
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: x=−2π3+k2π⇒x=−2π3+2π=4π3
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: x=π4+kπ⇒x=π4
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là x=π4
Chọn đáp án C.
Cách khác:
Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm x=π4,x=2π3 thỏa mãn phương trình.
Do π4<2π3 nên ta chọn nghiệm x=π4.
