Đề bài
Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài mặt phẳng \((ABC)\). Trên đoạn \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MS}\) = \(-2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow{NB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\) Chứng minh rằng ba véctơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kết quả của định lí 1 về điều kiện để ba vector đồng phẳng.
Trong không gian cho hai vector \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương và vector \(\overrightarrow c \). Khi đó ba vector \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b ;\,\,\overrightarrow c \) đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số \(m;n\) sao cho \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \). Ngoài ra cặp số \(m;n\) là duy nhất.
Lời giải chi tiết
Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {SC} \):
Ta có:
\( \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN} \)\(= {2 \over 3}\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SC} + {2 \over 3}\overrightarrow {CB} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \)
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\)\( = - {1 \over 3}\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} - {1 \over 3}\overrightarrow {CB} \,\,\,\left( 2 \right) \)
Nhân (2) với \(2\) rồi cộng với (1) ta được:
\(3\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{SC}\) + \(2\overrightarrow{AB}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.
