Đề bài
Câu 1: Cho dãy số với \({u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (a: hằng số ). \({u_{n + 1}}\) là số hạng nào?
A. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}}\)
B. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{(n + 1)}^2}}}{{n + 1}}\)
C. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\)
D. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2}} }{ {n + 2}}\)
Câu 2: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
B. Dãy số giảm
D. Cả A,B,C đều sai
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. \({u_n} = 5(n - 1)\)
B. \({u_n} = 5.n + 1\)
C. \({u_n} = 5 + n\)
D. \({u_n} = 5n\)
Câu 4: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A ,B,C đều sai
Câu 5: Cho dãy số với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 2}\\{{u_{n + 1}} = - 2 - \dfrac{1}{{{u_n}}}}\end{array}} \right.\) Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là :
A. \({u_n} = - \dfrac{{n - 1}}{n}\)
B. \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{n}\)
C. \(u_n=\dfrac{1}{n}\)
D. \({u_n} = - \dfrac{{n + 1}}{n}\)
Câu 6: Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \({u_n} = \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}}\)
A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm
B. Dãy số giảm D. Cả A , B, C đều sai
Câu 7: Cho dãy số \(({u_n})\)với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 5}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + n}\end{array}} \right.\). Số hạng tổng quát \({u_n}\)của dãy số là số hạng nào dưới đây ?
A. \({u_n} = \dfrac{{(n - 1)n}}{2}\)
C. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n + 1)n}}{2}\)
B. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n - 1)n}}{2}\)
D. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n})\)biết : \({u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^2}}}\)
A. Dãy số tăng, bị chặn C. Dãy số giảm, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới D. CảA,B,C đều sai
Câu 9: Dãy số \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\) có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên
A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có
Câu 10: Xét tính bị chặn của dãy số sau: \({u_n} = {( - 1)^n}\)
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A | A | D | B | D |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | B | A | C | A |
Lời giải chi tiết:
Câu 1:
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)
Chọn đáp án A.
Câu 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} = 3n - 5 + \dfrac{6}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 3(n + 1) - 5 + \dfrac{6}{{n + 2}} = 3n - 2 + \dfrac{6}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} - \dfrac{6}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3({n^2} + 3n + 2) - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\end{array}\)
Dãy số tăng.
Chọn đáp án A.
Câu 3:
Số hạng tổng quát của dãy số này là:\({u_n} = 5n\)
Chọn đáp án D.
Câu 4:
Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \) \( \Rightarrow {u_{n + 1}} = n + 1 - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} = n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} \)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} } \right) \, - \left( {n - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)\)\( = \sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2n} + 1 < 0\)
Dãy số giảm.
Chọn đáp án B.
Câu 5:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \dfrac{2}{1}\\{u_2} = - \dfrac{3}{2}\\{u_3} = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{{n + 1}}{n}\)
Chọn đáp án D.
Câu 6:
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}}\)
\(= \dfrac{{{n^3} + {n^2} - {n^2}{{\left( { - 1} \right)}^n} - \left( {{n^3} + 2{n^2} + n} \right) - {{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{ - {n^2} - {{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {2{n^2} + 2n + 1} \right) - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
+ n lẻ ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} + 2{n^2} + 2n + 1 - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0\)
+ n chẵn ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} - 2{n^2} - 2n - 1 - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)\(\, = \dfrac{{ - 3{n^2} - 3n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)
Dãy số không tăng không giảm.
Chọn đáp án C.
Câu 7:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = 6\\{u_3} = 8\\{u_4} = 11\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
Chọn đáp án B.
Câu 8:
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
\({u_n} < 1 + \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} = 2 - \dfrac{1}{n}\)
\( \Rightarrow 1 < {u_n} < 2 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn
Chọn đáp án A.
Câu 9:
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 6}}{{n + 1}} = n + 2 + \dfrac{5}{{n + 1}}\)
Nhận thấy chỉ có \({u_4}\) nhận giá trị nguyên
Chọn đáp án C.
Câu 10:
Ta có: \({u_n} = {( - 1)^n}\)
+ Với n lẻ ta có \({u_n} = - 1\)
+ Với n chẵn ta có: \({u_n} = 1\)
Vậy \({u_n} \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
Chọn đáp án A.
