Video hướng dẫn giải
Chứng minh rằng với n∈N∗, ta có đẳng thức:
LG a
2+5+8+....+3n−1=n(3n+1)2
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k≥1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1.
Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈N∗.
Lời giải chi tiết:
Với n=1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.(3.1+1)2=2.
Do đó hệ thức a) đúng với n=1.
Đặt vế trái bằng Sn
Giả sử đẳng thức a) đúng với n=k≥1, tức là
S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = \dfrac{k(3k+1)}{2}
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
S_{k+1}= [2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1] + (3(k + 1) – 1)
= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2
= \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2
= \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}
= \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 3 + 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n \in {\mathbb N}^*
LG b
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}
Lời giải chi tiết:
Với n = 1, vế trái bằng \dfrac{1}{2}, vế phải bằng \dfrac{1}{2}, do đó hệ thức đúng với n=1.
Đặt vế trái bằng S_n.
Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là
S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}} =\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}
Ta phải chứng minh S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}
=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}
=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n \in {\mathbb N}^*
LG c
{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Lời giải chi tiết:
Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng \dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng S_n.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} =\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}
Ta phải chứng minh S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
{S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2
= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}
= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}
\begin{array}{l} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6} \end{array}
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n \in {\mathbb N}^*.
