Đề bài
Câu 1: Giá trị của \(\lim \dfrac{{2 - n}}{{\sqrt {n + 1} }}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. 0 D. 1
Câu 2: Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì:
A. \(\lim {q^n} = 0\) B. \(\lim q = 0\)
C. \(\lim \left( {n.q} \right) = 0\) D. \(\lim \dfrac{n}{q} = 0\)
Câu 3: Giá trị của \(\lim \dfrac{{{{(n - 2)}^7}{{(2n + 1)}^3}}}{{{{({n^2} + 2)}^5}}}\)
A. \( + \infty \) B. 8
C.1 D. \( - \infty \)
Câu 4: Tính \(\lim \dfrac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. 0 D. 1
Câu 5: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - x + 7)\) bằng
A. 5 B. 7
C. 9 D. 6
Câu 6: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x{}_0} g(x) = M\). Chọn mệnh đề sai:
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = \dfrac{L}{M}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}} = L.M\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x) - g(x){\rm{]}} = L - M\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{]}} = L + M\)
Câu 7: Giá trị của \(\lim (\sqrt {{n^2} + n + 1} - n)\) bằng
A. \( - \infty \) B. \( + \infty \)
C. \(\dfrac{1}{2}\) D. 1
Câu 8: Tìm \(\lim {u_n}\)biết \({u_n} = \dfrac{{n.\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)} }}{{2{n^2} + 1}}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. 1 D. \(\dfrac{1}{2}\)
Câu 9: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^3} + 1)\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. 9 D. 1
Câu 10: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. -2 D. -1
Câu 11: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 8\\ax + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 8\end{array} \right.\) . Để hàm số liên tục tại x = 8, giá trị của a là:
A. 1 B. 2
C. 4 D. 3
Câu 12: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}\)
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. \(\dfrac{{ - 8}}{{27}}\) D. 1
Câu 13: Hàm số \(f(x)\left\{ \begin{array}{l} - x\,c{\rm{o}}s\,x\,khi\,x < \,0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,khi0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,kh{\rm{i}}\,\,\,\,{\rm{x}} \ge {\rm{1}}\end{array} \right.\)
A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
D. Liên tục tại mọi điểm .
Câu 14: Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) công bội \(q\). Đặt \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...\) thì:
A. \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) B. \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{q - 1}}\)
C. \(S = \dfrac{{1 - q}}{{{u_n}}}\) D. \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - {q^n}}}\)
Câu 15: Chọn giá trị của \(f(0)\)để hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sqrt[3]{{2x + 8}} - 2}}{{\sqrt {3x + 4} - 2}}\)liên tục tại điểm x = 0
A.1 B. 2
C. \(\dfrac{2}{9}\) D. \(\dfrac{1}{9}\)
Câu 16: Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}},\,x > 1}\\{\dfrac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}},\,x \le 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại x = 1
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{1}{4}\)
C. \(\dfrac{3}{4}\) D. 1
Câu 17: Chọn mệnh đề đúng:
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty \)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \)
Câu 18: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}\) bằng?
A. 4. B. 6.
C. -4. D. -6.
Câu 19: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
(1) \(f(x)\)liên tục trên [a; b] và \(f(a)f(b) > 0\)thì tồn tại ít nhất một số \(c \in (a;b)\)sao cho \(f(c) = 0\)
(2) \(f(x)\) liên tục trên [a; b] và trên [b;c] nhưng không liên tục trên (a;c)
A.Chỉ (1)
B. Chỉ (2)
C. Chỉ (1);(2)
D. Không có khẳng định đúng
Câu 20: Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(1) \(f(x)\)gián đoạn tại x = 1
(2) \(f(x)\)liên tục tại x = 1
(3) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}\)
A.Chỉ (1) B. Chỉ (2)
C. Chỉ (1), (3) D. Chỉ (2),(3)
Câu 21: Cho \({u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}\). Khi đó \(\lim {u_n}\)bằng?
A. \(0.\) B. \( - \dfrac{1}{4}.\)
C. \(\dfrac{3}{4}.\) D. \( - \dfrac{3}{4}.\)
Câu 22: Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng \( + \infty \)?
A. \({u_n} = \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}}.\)
B. \({u_n} = \dfrac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}}.\)
C. \({u_n} = \dfrac{{1 + 2n}}{{5n + 5{n^2}}}.\)
D. \({u_n} = \dfrac{{1 - {n^2}}}{{5n + 5}}.\)
Câu 23: Giới hạn \(\lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}\)bằng?
A. \(\dfrac{5}{2}.\)
B. \(\dfrac{{ - 5}}{2}.\)
C. \(1.\)
D. \( - 1.\)
Câu 24: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}{x^2}\,,\,\,x \le \sqrt 2 ,a \in \mathbb{R}}\\{(2 - a){x^2}\,\,\,,x > \sqrt 2 }\end{array}} \right.\). Tìm a để \(f(x)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\)
A.1 và 2 B. 1 và -1
C. -1 và 2 D. 1 và -2
Câu 25: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt[3]{{x + 1}}}}{{3x}}\)bằng?
A. \( - \dfrac{1}{3}.\) B. 0.
C. \(\dfrac{1}{3}.\) D. \(\dfrac{{ - 1}}{9}.\)
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| B | A | B | C | C |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | C | D | C | D |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| A | C | B | A | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| C | B | C | D | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| A | B | D | D | D |
Đáp án và lời giải chi tiết:
Câu 1: Đáp án B
\(\lim \dfrac{{2 - n}}{{\sqrt {n + 1} }} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{n} - 1}}{{\sqrt {\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} }} = - \infty \)
Câu 2: Đáp án A
Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì: \(\lim {q^n} = 0\)
Câu 3: Đáp án B
\(\eqalign{
& \lim {{{{(n - 2)}^7}{{(2n + 1)}^3}} \over {{{({n^2} + 2)}^5}}} \cr
& = \lim {{{{\left( {1 - {2 \over n}} \right)}^7} \cdot {{\left( {2 + {1 \over n}} \right)}^3}} \over {{{\left( {1 + {2 \over {{n^2}}}} \right)}^5}}} = {{{{1.2}^3}} \over 1} = 8 \cr} \)
Câu 4: Đáp án C
\(\eqalign{
& \lim {{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3} \over {{{3.2}^n} + {4^n}}} \cr
& = \lim {{{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}} - {3 \over {{4^n}}}} \over {3.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} + 1}} = {0 \over 1} = 0 \cr} \)
Câu 5: Đáp án C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {( - 1)^2} - ( - 1) + 7 = 9\)
Câu 6: Đáp án A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} g\left( x \right) = M\)
\( \Rightarrow \mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}} {{f(x)} \over {g(x)}} = {L \over M}\) nếu \(M \ne 0\Rightarrow\) A sai
Câu 7: Đáp án C
\(\eqalign{
& \lim (\sqrt {{n^2} + n + 1} - n) \cr
& = \lim {{{n^2} + n + 1 - {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr
& = \lim {{n + 1} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr
& = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1}} \cr
& = {1 \over {\sqrt 1 + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
Câu 8: Đáp án D
\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{n.\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)} } \over {2{n^2} + 1}} \cr
& = \lim {{n\sqrt {{n \over 2}\left( {1 + 2n - 1} \right)} } \over {2{n^2} + 1}} \cr
& = \lim {{{n^2}} \over {2{n^2} + 1}} = \lim {1 \over {2 + {1 \over {{n^2}}}}} = {1 \over 2} \cr} \)
Câu 9: Đáp án C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^3} + 1) = {2^3} + 1 = 9\)
Câu 10: Đáp án D
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} {{{x^2} + 3x + 2} \over { - \left( {x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} {{(x + 1)(x + 2)} \over { - \left( {x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \left( { - \left( {x + 2} \right)} \right) = - 1 \cr} \)
Câu 11: Đáp án A
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} {{x - 8} \over {\root 3 \of x - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} {{\left( {\root 3 \of x - 2} \right)\left( {\root 3 \of {{x^2}} + 2\root 3 \of x + 4} \right)} \over {\root 3 \of x - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \left( {\root 3 \of {{x^2}} + 2\root 3 \of x + 4} \right) = 12 \cr} \)
Câu 12: Đáp án C
Câu 13: Đáp án B
Câu 14: Đáp án A
Câu 15: Đáp án C
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\root 3 \of {2x + 8} - 2} \over {\sqrt {3x + 4} - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {\root 3 \of {2x + 8} - 2} \right)\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} - 2} \right)} \over {\left( {3x + 4 - 4} \right)\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2x\left( {\sqrt {3x + 4} - 2} \right)} \over {3x\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\left( {\sqrt {3x + 4} - 2} \right)} \over {3\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)}} \cr
& = {{2(2 + 2)} \over {3(4 + 4 + 4)}} = {8 \over {36}} = {2 \over 9} \cr} \)
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(f(0) = \dfrac{2 }{ 9}\)
Câu 16: Đáp án C
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {3x + 1} - 2} \over {{x^2} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{3x + 1 - 4} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{3x - 3} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{3(x - 1)} \over {(x - 1)(x + 1)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} = {3 \over {2.4}} = {3 \over 8} \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}\dfrac {{a({x^2} - 2)} }{ {x - 3}} =\dfrac {a }{ 2}\)
Để f(x) liên tục tại x=1 thì \(\dfrac{a}{2} = \dfrac{3}{ 8} \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{ 4}\)
Câu 17: Đáp án B
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \)
Câu 18: Đáp án C
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + 6x + 5} \over {{x^3} + 2{x^2} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x + 5} \over {{x^2} + x - 1}} = {4 \over { - 1}} = - 4 \cr} \)
Câu 19: Đáp án D
Câu 20: Đáp án C
f(x) có TXĐ: \(R\backslash \left\{ 1 \right\}\) nên f(x) gián đoạn tại x=1
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt x - 1} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt x + 1}} = {1 \over 2}\)
Câu 21: Đáp án A
\(\lim {u_n} = \lim {{{n^2} - 3n} \over {1 - 4{n^3}}} = \lim {{{1 \over n} - {3 \over {{n^2}}}} \over {{1 \over {{n^3}}} - 4}} = 0\)
Câu 22: Đáp án B
Đáp án A: \(\lim {u_n} = \lim {{{n^2} - 2n} \over {5n + 5{n^2}}} = \lim {{1 - {2 \over n}} \over {{5 \over n} + 5}} = {1 \over 5}\)
Đáp án B: \(\lim {u_n} = \lim {{1 + {n^2}} \over {5n + 5}} = \lim {{{1 \over n} + n} \over {5 + {5 \over n}}} = \lim {n \over 5} = + \infty \)
Đáp án C: \(\lim {u_n} = \lim {{1 + 2n} \over {5n + 5{n^2}}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}} + {2 \over n}} \over {{5 \over n} + 5}} = 0\)
Đáp án D: \(\lim {u_n} = \lim {{1 - {n^2}} \over {5n + 5}} = \lim {{{1 \over n} - n} \over {5 + {5 \over n}}} = - \infty \)
Câu 23: Đáp án D
\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } \over {2n - 1}} \cr
& = \lim {{\sqrt {1 - {3 \over n} - {5 \over {{n^2}}}} - \sqrt {9 + {3 \over {{n^2}}}} } \over {2 - {1 \over n}}} \cr
& = {{\sqrt 1 - \sqrt 9 } \over 2} = - 1 \cr} \)
Câu 24: Đáp án D
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} \left( {2 - a} \right){x^2} = 4 - 2a \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} {a^2}{x^2} = 2{a^2} \cr} \)
f(x) liên tục trên R
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2{a^2} = 4 - 2a \cr
& \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 4 = 0 \cr} \)
\(\Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a = - 2\)
Câu 25: Đáp án D
