Đề bài
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 13;132;133;134;135;.... Số hạng tổng quát của dãy số này là ?
A. un=1313n+1 (n≥1)
B. un=13n+1(n≥1)
C. un=13n(n≥1)
D. un=13n−1(n≥1)
Câu 2: Xét xem dãy số (un)với un=2n−13có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.
A. q=3 B. q=2
C. q=4 D. q=∅
Câu 3: Dãy số (un) có phải là cấp số cộng hay không ? Nếu phải hãy xác định công sai biết: un=2n.
A. d=∅ B. d=12
C. d=−3 D. d=1
Câu 4: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un)biết :un=1√1+n+n2.
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm , bị chặn
D. Cả A,B,C đều sai
Câu 5: Cho cấp số nhân có u1=−3;q=23. Số −96243 là số hạng thứ mấy của cấp số này.
A. Thứ 5
B. Thứ 6
C. Thứ 7
D. Không phải là số hạng của cấp số
Câu 6: Xét tính bị chặn của các dãy số sau :un=3n−1
A. Bị chặn B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 7: Cho dãy số (un): {u1=2un=3un−1−2,n=2,3.... Viết 6 số hạng đầu của dãy :
A. u1=2,u2=5,u3=10,u4=28,u5=82,u6=244
B. u1=2,u2=4,u3=10,u4=18,u5=82,u6=244
C. u1=2,u2=4,u3=10,u4=28,u5=72,u6=244
D. u1=2,u2=4,u3=10,u4=28,u5=82,u6=244
Câu 8: Cho dãy số (un)với :un=a.3n ( a là hằng số ). Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Dãy số có un+1=a.3n+1
B. Hiệu số un+1−un=3a
C. Với a > 0 thì dãy số tăng
D. với a < 0 thì dãy số giảm
Câu 9: Xác định x để 3 số :1+2x;2x2−1;−2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
A. x=±3
B. x=±√32
C. x=±√34
D. Không có giá trị nào của x
Câu 10: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng và có một góc bằng 25o. Tìm 2 góc còn lại ?
A. 650;900 B. 750;800
C. 600;950 D. 600;900
Câu 11: Cho cấp số cộng (un)thỏa :{u5+3u3−u2=−213u7−2u4=−34. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A. S15=−244 B. S15=−274
C. S15=−253 D. S15=−285
Câu 12: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
A. u1=29;u2=25;u3=2;u5=18;u6=54;u7=162
B. u1=29;u2=23;u3=2;u5=21;u6=54;u7=162
C. u1=27;u2=23;u3=2;u5=18;u6=54;u7=162
D. u1=29;u2=23;u3=2;u5=18;u6=54;u7=162
Câu 13: Cho dãy số (un) với {u1=−1un+1=un2 Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là :
A. un=(−1).(12)n
B. un=(−1).(12)n+1
C. un=−1
D. un=(−1).(12)n−1
Câu 14: Cho cấp số nhân (un)thỏa mãn: {u4=227u3=243u8. Số 26561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?
A. 41 B. 12
C. 9 D. 3
Câu 15: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a2+c2=2ab+2bc+2ac
B. a2−c2=2ab+2bc−2ac
C. a2+c2=2ab+2bc−2ac
D. a2−c2=2ab−2bc+2ac
Câu 16: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. 1;0,2;0,04;0,08;...
B. 2;22;222;2222;...
C. x;2x;3x;4x;...
D. 1;−x2;x4;−x6;...
Câu 17: Cho cấp số nhân có u2=14;u5=16. Tìm q,u1
A. q=12;u1=12
B. q=−12;u1=−12
C. q=4;u1=116
D. q=−4;u1=−116
Câu 18: Tính tổng Sn=1+11+111+...+11...11 (có 10 chữ số 1)
A.1011−10081
B. 1010−10081
C. 109−10081
D. 108−10081
Câu 19: Cho hai số x và y biết các số x−y;x+y;3x−3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số x−2;y+2;2x+3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm x;y:
A.x=3;y=1
B. x=3;y=1 hoặc x=−1613;y=−23
C. x=3;y=1 hoặc x=−613;y=−213
D. x=3;y=1 hoặc x=−163;y=23
Câu 20: Tìm x biết 1,x2,6−x2lập thành cấp số nhân
A. x=±1 B. x=±√2
C. x=±2 D. x=±√3
Câu 21: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. Ký hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao hn.
A. hn=0,18n+0,32(m)
B. hn=0,18n+0,5(m)
C. hn=0,5n+0,18(m)
D. hn=0,5n−0,32(m)
Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng của 4 số hạng liên tiếp bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:
A. 1,4,7,10 B. 1,4,5,10
C. 2,3,5,10 D. 2,3,4,5
Câu 23: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: {u7−u3=8u2.u7=75 . Tìm u1;d ?
A.{d=2u1=2,u1=−17
B. {d=2u1=3,u1=−7
C. {d=2u1=−3,u1=−17
D. {d=2u1=3,u1=−17
Câu 24: Cho tổng Sn=11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1). Mệnh đề nào đúng?
A. Sn=1n+1
B. Sn=nn+1
C. Sn=nn+2
D. Sn=n+1n+2
Câu 25: Cho dãy số (xn)với xn=an+4n+2. Dãy số (xn) là dãy số tăng khi:
A. a = 2 B. a > 2
C. a < 2 D. a > 1
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | D | A | C | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | D | B | C | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| D | D | D | C | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | C | A | C | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| B | A | D | B | B |
Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số nhân với u1=13;q=13
⇒un=13.(13)n−1=13n
Chọn C.
Câu 2. Ta có
u1=21−13=13u2=22−13=1u3=23−13=73}⇒(1:13)≠73
Vậy (un) không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.
Chọn D.
Câu 3. Ta có
u1=21=2u2=22=1u3=23}⇒12≠23
Vậy (un) không phải là cấp số cộng nên không tồn tại d.
Chọn A.
Câu 4. Ta có
∀n∈N∗,n<n+1⇒√1+n+n2⇒1√1+n+n2>1√1+(n+1)+(n+1)2⇒un>un+1
Mặt khác√(n+14)2+34≥√32 ⇒0<un=1√1+n+n2≤2√3
Chọn C.
Câu 5. Ta có un=(−3).(23)n−1=−96243
⇔(23)n−1=32243
⇔n−1=5⇔n=6
Chọn B.
Câu 6. Xét un+1−un=3(n+1)−1−(3n−1)=3>0.
Dãy số trên tăng nên un=3n−1≥2,∀n≥1
Chọn D.
Câu 7. Ta có
u2=3.2−2=4;
u3=3.4−2=10;
u4=3.10−2=28;
u5=3.28−2=82;
u6=3.82−2=244;
Chọn D.
Câu 9. Ta có
1+2x−2x2=2x2−1⇔12+1=2x2⇔x2=34⇔x=±√32
Chọn B.
Câu 10. Gọi số đo hai góc còn lại lần lượt là x và y (0<x<y<180∘)
Áp dụng tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180∘ ta có x+y+25∘=180∘⇔x+y=155∘
Mặt khác, 3 góc này lại lập thành cấp số cộng nên 25∘ là góc bé nhất
Suy ra
x+y+25∘=180∘⇔x+y=155∘{x+y=155∘x=25∘+y2⇔{x+y=155∘2x−y=25∘⇔{x=60∘y=95∘
Chọn C.
Câu 11. Ta có
{u5+3u3−u2=−213u7−2u4=−34⇔{u1+4d+3(u1+2d)−u1−d=−213(u1+6d)−2(u1+3d)=−34⇔{3u1+9d=−21u1+12d=−34⇔{u1=2d=−3
Khi đó S15=nu1+n(n−1)2d=15.2+15.142.(−3)=−285
Chọn D.
Câu 12. Ta có
{u4=6u7=243u2⇔{u1q3=6u1q6=243u1q⇔{u1=29q=3⇔un=29.3n−1
| u2=29.31=23; | u3=29.32=2; | u5=29.34=18; |
| u6=29.35=54; | u7=29.36=162. |
|
Chọn D.
Câu 13. Ta có
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 1}\\\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\{u_3} = \dfrac{{ - 1}}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\q = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow {u_n} = ( - 1).{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}
Chọn D.
Câu 14.
\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 234{u_1}{q^7}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = 2.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{6561}} = 2.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} \\\Leftrightarrow n - 1 = 8 \Leftrightarrow n = 9\end{array}
Chọn C.
Câu 15. Ta có
\begin{array}{c}b = \dfrac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 4{b^2} - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2b(a + c) - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ac\end{array}
Chọn C.
Câu 17. Ta có
\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{4}\\{u_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = \dfrac{1}{4}\\{u_1}{q^4} = 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = \dfrac{1}{4}\\{q^3} = 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{{16}}\\q = 4\end{array} \right.
Chọn C.
Câu 18. Ta có
\begin{array}{c}{S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...11}_{10}\\9{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...99}_{10}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + ... + ({10^{10}} - 1)\\ = \dfrac{{10(1 - {{10}^{10}})}}{{1 - 10}} - 10 = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{9}\\{S_n} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}
Chọn A.
Câu 19. Ta có
\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{{x - y + 3x - 3y}}{2}\\{(y + 2)^2} = \left( {x - 2} \right)(2x + 3y)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\26{y^2} - 22y - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = \dfrac{{ - 2}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 6}}{{13}}\\y = \dfrac{{ - 2}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}
Chọn C.
Câu 20. Ta có \begin{array}{c}{x^4} = 1.\left( {6 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 6 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \end{array}
Chọn B.
Câu 21. Độ cao của bậc thang so với mặt sân lập thành cấp số cộng với {u_1} = 0,5;d = 0,18 \Leftrightarrow {h_n} = 0,5 + 0,18n
Chọn B.
Câu 22. Gọi bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng là x; y; z; t. Khi đó:
\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 22\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6d = 22\\{x^2} + {\left( {x + d} \right)^2} + {\left( {x + 2d} \right)^2} + {\left( {x + 3d} \right)^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{{11 - 2x}}{3}\\\dfrac{{20}}{9}{x^2} - \dfrac{{220}}{9}x + \dfrac{{200}}{9} = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \dfrac{{11 - 2x}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 10\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\d = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1;4;7;10\end{array}
Chọn A.
Câu 23.Ta có
\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_{2.}}{u_7} = 75}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_1} = - 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}
Chọn D.
Câu 24. Ta có
\begin{array}{c}{S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\ = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n - 1}}\\ = 1 - \dfrac{1}{{n - 1}} = \dfrac{n}{{n - 1}}\end{array}
Chọn B.
Câu 25. Ta có \begin{array}{l}{x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = a + \dfrac{{ - 2a + 4}}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {x_{n + 1}} - {x_n} = \left( { - 2a + 4} \right)\left( {\dfrac{1}{{n + 3}} - \dfrac{1}{{n + 2}}} \right) = \dfrac{2a - 4}{(n+3)(n+2)}\end{array}
Để dãy số tăng thì 2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2
Chọn B.
