Đề bài
Cho tứ giác ABCDABCD nằm trong mặt phẳng (α)(α) có hai cạnh ABAB và CDCD không song song. Gọi SS là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α)(α) và MM là trung điểm đoạn SCSC.
a) Tìm giao điểm NN của đường thẳng SDSD và mặt phẳng (MAB)(MAB).
b) Gọi OO là giao điểm của ACAC và BDBD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO,AM,BNSO,AM,BN đồng quy.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tìm một đường thẳng trong (MAB)(MAB) cắt được SDSD. Khi đó giao điểm đó chính là giao điểm của SDSD và (MAB)(MAB).
b) Chứng minh (SAC)∩(SBD)=SO(SAC)∩(SBD)=SO. Gọi I=AM∩BNI=AM∩BN, chứng minh II là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC)(SAC) và (SBD)⇒I∈SO(SBD)⇒I∈SO.
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (α)(α) vì ABAB và CDCD không song song nên AB∩DC=EAB∩DC=E
⇒E∈DC⇒E∈DC, mà DC⊂(SDC)DC⊂(SDC)
⇒E∈(SDC)⇒E∈(SDC).
Trong (SDC)(SDC) đường thẳng MEME cắt SDSD tại NN
⇒N∈ME⇒N∈ME mà ME⊂(MAB)ME⊂(MAB)
⇒N∈(MAB)⇒N∈(MAB). Lại có N∈SD⇒N=SD∩(MAB)
b) O là giao điểm của AC và BD⇒O thuộc AC và BD, mà AC⊂(SAC),BD⊂(SBD)
⇒O∈(SAC),O∈(SBD)
⇒ O là một điểm chung của (SAC) và (SBD)
Mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD)
⇒(SAC)∩(SBD)=SO
Trong mặt phẳng (AEN) gọi I=AM∩BN⇒I∈AM;I∈BN
Mà AM⊂(SAC)⇒I∈(SAC)
BN⊂(SBD)⇒I∈(SBD).
Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD) nên I∈SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).
Vậy S,I,O thẳng hàng hay SO,AM,BN đồng quy tại I.
Cách khác:
b) Chứng minh SO,MA,BN đồng quy:
+ Trong mặt phẳng (SAC):SO và AM cắt nhau.
+ Trong mp (MAB):MA và BN cắt nhau
+ Trong mp (SBD):SO và BN cắt nhau.
+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM;BN;SO không đồng phẳng.
Theo kết quả bài tập 3 ta có SO,MA,BN đồng quy.
